等比数列(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.2＋与2－的等比中项是()A.1B.－1C.±1D.2【解析】2＋与2－的等比中项为G＝±＝±1，故选C.【答案】C2.在等比数列{an}中，a2017＝8a2016，则公比q的值为()A.2B.3C.4D.8【解析】由等比数列的定义知q＝＝8.【答案】D3.在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则通项公式an＝()【导学号：18082094】A.(－2)n－1B.－(－2)n－1C.(－2)nD.－(－2)n【解析】根据a5＝－8a2，有a1q4＝－8a1q，得q＝－2.又因为a5＞a2，所以a5＞0，a2＜0，a1＞0.所以a1＝1，所以an＝(－2)n－1.【答案】A4.若实数a，b，c成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均不为0)的图象与x轴的交点个数为()A.0B.1C.2D.不确定【解析】因为b2＝ac＞0，且a，b，c均不为0，所以Δ＝b2－4ac＝－3ac＜0，故f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点.【答案】A5.已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A.21B.42C.63D.84【解析】∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21，∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去).∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.【答案】B二、填空题6.在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝________.【解析】由题意知a3是a1和a9的等比中项，∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，∴＝＝.【答案】7.已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.【导学号：18082095】【解析】由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.1【答案】3×2n－38.在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5＝________.【解析】由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9，∴q＝±3，∵an＞0，∴q＝3，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.【答案】27三、解答题9.已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.【解】法一：因为a1a3＝a，a1a2a3＝a＝8，所以a2＝2.从而解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1.当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝.故an＝2n－1或an＝23－n.法二：由等比数列的定义，知a2＝a1q，a3＝a1q2.代入已知，得即即将a1＝代入①，得2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝.由②，得或故an＝2n－1或an＝23－n.10.数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，an＋2＝，bn＝an＋1－an.(1)求证：{bn}是等比数列；(2)求{bn}的通项公式.【导学号：18082096】【解】(1)证明：∵2an＋2＝an＋an＋1，∴＝＝＝－.∴{bn}是等比数列.(2)∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－，∴bn＝1×＝.[能力提升]1.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于()A.＋1B.3＋2C.3－2D.2－3【解析】设等比数列{an}的公比为q，由于a1，a3,2a2成等差数列，则2＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，所以a1q2＝a1＋2a1q.由于a1≠0，所以q2＝1＋2q，解得q＝1±.又等比数列{an}中各项都是正数，所以q>0，所以q＝1＋.所以＝＝＝＝3－2.【答案】C22.已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝()A.2B.1C.D.【解析】法一：∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)，∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8，∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故选C.法二：∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，解得q＝2，∴a2＝a1q＝，故选C.【答案】C3.设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________.【解析】设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1＝8，q＝，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，∴a1a2…an≤a1a2a3a4＝64.【答案】644.已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，证明{an}是等比数列，并求出通项公式.【证明】因为Sn＝2an＋1，所以Sn＋1＝2an＋1＋1.所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an，所以an＋1＝2an.又因为S1＝2a1＋1＝a1，所以a1＝－1≠0.又由an＋1＝2an，知an≠0，所以＝2，所以{an}是等比数列.因为a1＝－1，q＝2，所以an＝－1×2n－1＝－2n－1.3
