4.2.1实际问题中导数的意义一、选择题1．做一个容积为256升的方底无盖水箱，那么用料最省时，它的底面边长为()A.5分米B.6分米C.7分米D.8分米解析：设底面边长为x分米，则高为h＝，其表面积S＝x2＋4··x＝x2＋，S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8.当08时S′>0，故x＝8时S最小．答案：D2．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2.最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元解析：设毛利润为L(P)，由题意知L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，所以，L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0，解得P＝30，或P＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．答案：D3．[2013·湖南株洲一模]横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为()A.d，dB.d，dC.d，dD.d，d解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y，由题意知当xy2取最大值时，横梁的强度最大． y2＝d2－x2，∴xy2＝x(d2－x2)(00；当d0)则底面面积S＝x2，∴h＝＝.S表＝x·×3＋x2×2＝＋x2.S′表＝x－，令S′表＝0，x＝. S表只有一个极值，故x＝为最小值点．答案：C二、填空题5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________千米处．解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离．于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.因此两项费用之和为y＝＋，y′＝－＋，令y′＝－＋＝0得x＝5(x＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．答案：56．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知502×100＝k＝250000，则a2x＝250000，所以a＝.总利润y＝500－x3－1200(x>0)，y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．答案：257．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，则此书店分________次进货、每次进________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．解析：设每次进书x千册(00.故当x＝15时，y取得最小值，此时进货次数为＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．答案：1015000三、解答题28．[2013·山东聊城三模]一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解：设火车的速度为xkm/h，甲、乙两城距离为akm.由题意，令40＝k·203，∴k＝，则总费用f(x)＝(kx3＋400)...
