高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 最大值与最小值作业 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

3.3.3最大值与最小值[基础达标]1．函数f(x)＝x3－3x＋1在[－3,0]上的最大值，最小值分别为________．解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1，f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(0)＝1.比较可得f(x)max＝f(－1)＝3，f(x)min＝f(－3)＝－17.答案：3，－172．函数f(x)＝xlnx在(0，＋∞)上的最小值为________．解析：f′(x)＝(xlnx)′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋1.由f′(x)>0，得x>；由f′(x)<0，得x<.∴f(x)＝xlnx在x＝处取得极小值f()＝－，∴－就是f(x)在(0，＋∞)上的最小值．答案：－3．函数y＝x＋2cosx在区间[0，]上的最大值是________．解析：令y′＝1－2sinx＝0，得x＝，比较0，，处的函数值，得ymax＝＋.答案：＋4．若函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，则a的取值范围是________．解析：f′(x)＝2ax＋4，由f(x)在[0,2]上有最大值f(2)，则要求f(x)在[0,2]上单调递增，则2ax＋4≥0在[0,2]上恒成立．当a≥0时，2ax＋4≥0恒成立；当a<0时，要求4a＋4≥0恒成立，即a≥－1.∴a的取值范围是a≥－1.答案：a≥－15．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，因为不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.答案：m≥6．函数f(x)＝ax4－4ax2＋b(a>0,1≤x≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a＝________，b＝________.解析：令f′(x)＝4ax3－8ax＝4ax(x2－2)＝0，得x1＝0，x2＝，x3＝－.又 1≤x≤2，∴x＝.又f(1)＝a－4a＋b＝b－3a，f(2)＝16a－16a＋b＝b，f()＝b－4a， a>0，∴∴a＝2，b＝3.答案：237．已知函数f(x)＝x3－3x.(1)求函数f(x)在上的最大值和最小值；(2)过点P(2，－6)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线的方程．解：(1)f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，当x∈[－3，－1)或x∈时，f′(x)>0，∴[－3，－1)，为函数f(x)的单调增区间；当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，∴[－1,1]为函数f(x)的单调减区间．又因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f＝－，所以当x＝－3时，f(x)min＝－18；当x＝－1时，f(x)max＝2.(2)设切点为Q(x0，x－3x0)，则所求切线方程为y－(x－3x0)＝3(x－1)(x－x0)，由于切线过点P(2，－6)，∴－6－(x－3x0)＝3(x－1)(2－x0)，解得x0＝0或x0＝3；所以切线方程为y＝－3x或y＋6＝24(x－2)，即为3x＋y＝0或24x－y－54＝0.8．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1＋∞)上是减函数，又f′()＝.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[0，m](m>0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围．解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由已知f′(0)＝f′(1)＝0，1即解得∴f′(x)＝3ax2－3ax，∴f′()＝－＝，∴a＝－2，∴f(x)＝－2x3＋3x2.(2)令f(x)≤x，即－2x3＋3x2－x≤0，∴x(2x－1)(x－1)≥0，∴0≤x≤或x≥1.又f(x)≤x在区间[0，m]上恒成立，∴00，∴g(x)为增函数，故g(x)在区间[1，＋∞)上一定有最小值．答案：最小值2．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x>0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝.所以，g(x)在区间(0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减．因此，g(x)max＝g()＝4，从而a≥4；当x<0，即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4.所以a＝4.答案：43．设函数f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b,0