课时作业10生活中的优化问题举例知识点一面积、容积最大(小)问题1.把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为()A．2B．4C．6D．8答案D解析设其中一段长为x，则另一段长为16－x，则两个正方形面积之和为S(x)＝2＋2(00.∴x＝8是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．∴当x＝8时，S(x)取最小值，S(x)最小＝S(8)＝8，即两个正方形面积之和的最小值是8，故选D.知识点二材料最省问题2.圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比为()A．2∶1B．1∶2C．1∶4D．4∶1答案A解析设其体积为V，高与底面半径分别为h，r，则V＝πr2h，即h＝.由题意，知当表面积S最小时所用材料最省．S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2πr·＝2πr2＋.令S′＝4πr－＝0，得r＝，当r＝时，h＝＝，则h∶r＝2∶1时，所用材料最省．知识点三利润最大问题3.某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．答案115解析利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．即每件商品的定价为115元时，利润最大．4．某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a>0，b>0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．解(1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6lnb＝0，解得a＝2，b＝1.(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．设投入经销B商品的资金为x万元(00，函数S(x)单调递增；当20)，S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8.当08时S′>0，故x＝8时S最小．2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A．0.0162B．0.0324C．0.0243D．0.0486答案B解析依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x∈(0,0.0486)．所以银行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(00；当0.0324400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．4．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A．6cmB．8cmC．10c...
