高中数学 课时跟踪训练（十六）函数的极值 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪训练(十六)函数的极值1．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在区间(a，b)上的图像如图所示，则函数y＝f(x)在(a，b)上极大值点的个数为()A．4B．3C．2D．12．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0等于()A.B．－C．－ln2D．ln23．函数f(x)＝1＋3x－x3()A．有极小值，无极大值B．无极小值，有极大值C．无极小值，无极大值D．有极小值，有极大值4．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，则此函数的解析式是()A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9x5．函数y＝x3＋x2－x＋1在x＝________处取极大值．6．函数f(x)＝ax－1－lnx(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________．7．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．8．设f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．1答案1．选B极大值点在导函数f′(x)的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，由导函数的图像可知这样的极值点共有3个．2．选Bf′(x)＝2x＋x·2xln2，令f′(x)＝0，得x＝－.当x<－时f′(x)<0，当x>－时，f′(x)>0，∴当x＝－时，函数f(x)取极小值．3．选D∵f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0得x＝±1.当x∈(－1,1)时f′(x)＞0，∴f(x)的单调递增区间为(－1,1)；同理，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．∴当x＝－1时，函数有极小值－1，当x＝1时，函数有极大值3.4．选B设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意得f′(1)＝f′(3)＝0，f(1)＝4，f(3)＝0，即解得：a＝1，b＝－6，c＝9，d＝0.5．解析：y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)．当－1或x<－1时，y′>0.∴函数在x＝－1处取极大值．答案：－16．解析：f′(x)＝a－＝，当a≤0时，f′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的，故f(x)在(0，＋∞)上没有极值点．答案：07．解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.8．解：(1)f(x)＝alnx＋＋x＋1，f′(x)＝－＋.由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线的斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，解得a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋＋x＋1(x＞0)，f′(x)＝－－＋＝＝.令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(x2＝－不在定义域内，舍去)．当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减少的；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增加的．故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.2