高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.3 最大值与最小值自主练习 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题VIP免费

高中数学第1章导数及其应用1.3.3最大值与最小值自主练习苏教版选修2-2我夯基我达标1.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在［0,3］上的最大值和最小值分别是()A.5,-15B.5,-4C.-4,-15D.5,-16思路解析：f′(x)=6x2-6x-12=0,解得x=-1或x=2.f(-1)=12(舍),f(2)=-15，f(0)=5,f(3)=-4.答案:A2.函数f(x)=x5-5x4+5x3+1当x∈［-1,2］时的最小值为()A.-10B.1C.-7D.-26思路解析：f′(x)=5x4-20x3+15x2.令f′(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=3.∴f(-1)=-10,f(0)=1,f(1)=2,f(2)=-7.答案:A3.若函数f(x)=asinx+sin3x在x=处有最值，那么a等于_____________.思路解析：f′(x)=acosx+cos3x.由题意f′()=0,即a·+(-1)=0,∴a=2.答案:24.函数f(x)=当-6≤x≤8时的最大值为_____________,最小值为_____________.思路解析：令f′(x)=0,得x=0.又f(-6)=8,f(0)=10,f(8)=6,故f(x)max=10,f(x)min=6.答案:1065.函数f(x)=sin2x在［,0］上的最大值是___________,最小值是___________.思路解析：令f′(x)=2sinx·cosx,得x=0,f()=,f(0)=0.答案:06.求下列函数的值.(1)f(x)=3x-x3;(2)f(x)=.思路分析:先求出函数的定义域，再求f(x)在定义域内的极值，最后将f(x)的各极值与端点的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.解:(1)f′(x)=3-3x2,令f′(x)=0,得x=±1.∴f(1)=2,f(-1)=-2.又f()=0,f(3)=-18,∴［f(x)］max=2,［f(x)］min=-18.(2)函数定义域为-1≤x≤1,当x∈(-1,1)时.1f′(x)=,令f′(x)=0,解得x=.∴f()=.又f(-1)=-1,f(1)=1,∴［f(x)］max=,［f(x)］min=-1.我综合我发展7.给出下面四个命题：①函数y=x2-5x+4(-1≤x≤1)的最大值为10,最小值为;②函数y=2x2-4x+1(2＜x＜4)的最大值为17,最小值为1；③函数y=x3-12x(-3＜x＜3)的最大值为16，最小值为-16；④函数y=x3-12x(-2＜x＜2)无最大值,也无最小值.其中正确的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个思路解析：①y′=2x-5,当-1≤x＜1时,y′＜0.函数单调递减.∴ymax=10,ymin=.③y′=3x2-12=3(x-2)(x+2)=0,x=±2.当-3＜x＜-2或2＜x＜3时,y′＞0,函数单调递增;当-2＜x＜2时,y′＜0,函数单调递减.∴函数在x=-2时,取得最大值f(-2)=16.函数在x=2时,取得最小值f(2)=-16.故①③正确.答案:B8.已知函数f(x)=，x∈［1,+∞).(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;(2)若对于任意x∈［1,+∞),f(x)＞0恒成立,试求实数a的取值范围.思路分析:本题主要考查用导数求最值的方法,在非闭区间上求最值,利用单调性即可.解:(1)当a=时,f(x)=.x∈［1,+∞),由f′(x)=.当x∈［1,+∞)时,f′(x)＞0,∴函数f(x)是增函数.∴当x=1时,f(x)的最小值为.(2)对任意x∈［1,+∞),f(x)＞0恒成立,即＞0对任意x∈［1,+∞)恒成立,∴x2+2x+a＞0对任意x∈［1,+∞)恒成立.设g(x)=x2+2x+a,则g′(x)=2x+2,当x∈［1,+∞)时,g′(x)＞0.∴函数g(x)是增函数.∴当x=1时,g(x)取最小值3+a.由题意3+a＞0,∴a＞-3.9.已知两个函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k为实数.2(1)对任意的x∈［-3,3］,都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围；(2)对任意的x1∈［-3,3］,x2∈［-3,3］，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围.思路分析:构造函数h(x)=g(x)-f(x)，利用导数求解较为简便.解:(1)设h(x)=g(x)-f(x)，则h(x)=2x3-3x2-12x+k.对于“任意的x∈［-3,3］都有f(x)≤g(x)”等价于-3≤x≤3,h(x)的最小值大于或等于零,h′(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2).x-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3h′(x)+0-0+h(x)-45+k增函数7+k减函数-20+k增函数-9+k于是h(x)的最小值为-45+k,即-45+k≥0，k≥45.(2)对于“任意的x1∈［-3,3］,x2∈［-3,3］,都有f(x2)≤g(x2)”等价于“f(x)在［-3,3］的最大值小于或等于g(x)在［-3,3］的最小值.”下面求在［-3,3］上的g(x)的最小值.g′(x)=6x2+10x+4=2(3x+2)(x+1)，列表易得g(x)在［-3,3］内的最小值为g(-3)=-21.又f(x)=8x2+16x-k=8(x+1)2-8-k在［-3,3］内的最大值为f(3)=120-k.于是120-k≤-21.∴k≥141.3