高中数学 3章末同步练习 新人教B版选修1-1VIP专享VIP免费

选修1-22章末总结1．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为()A．[－1，－]B．[－1,0]C．[0,1]D．[，1][答案]A[解析]设点P横坐标为x0，由导数的定义，知y′＝2x＋2，则由题意，知kp＝2x0＋2，又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，∴0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－.故选A.2．(2009·广东)设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则()A．a>－3B．a<－3C．a>－D．a<－[答案]B[解析]y′＝aeax＋3，令y′＝0得x＝，即为极值点．由题意得>0，所以a<－3，故选B.3．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8在区间(－5,5)上是减函数，则a的取值范围为________．[答案](－∞，－75][解析]f′(x)＝3x2＋a，由f(x)在(－5,5)上是减函数，由x∈(－5,5)时，f′(x)＝3x2＋a≤0恒成立，即a≤－3x2，对x∈(－5,5)恒成立，当x∈(－5,5)时，－3x2>－75，∴a≤－75.4．设直线y＝x＋b是曲线y＝lnx的一条切线，则实数b＝____.[答案]ln2－1[解析]设切点为(x0，y0)，由题意，得(lnx0)′＝＝，所以x0＝2，y0＝ln2，代入直线方程y＝x＋b，得b＝ln2－1.5．(2009·江苏)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．[答案](－1,11)[解析]f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，由(x－11)(x＋1)<0得单调递减区间为(－1,11)．6．设函数f(x)＝(x>0且x≠1)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)已知2>xa对任意x∈(0,1)成立，求实数a的取值范围．[解析](1)f′(x)＝－，令f′(x)＝0，则x＝；令f′(x)>0，则01.故函数f(x)的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(，1)和(1，＋∞)．(2)在2>xa的两边取自然对数，ln2>alnx.由于0①由(1)的结果可知，当x∈(0,1)时，f(x)≤f()＝－e.所以a的取值范围为a>－eln2.7．(2009·北京)设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间和与极值点．[解析](1)f′(x)＝3x2－3a.因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，所以即解得a＝4，b＝24.1(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点．当a>0时，由f′(x)＝0得x＝±.当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(－，)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．8．(2009·山东)函数f(x)＝x2ex－1＋ax3＋bx2，已知x＝－2和x＝1为f(x)的极值点．(1)求a和b的值；(2)讨论f(x)的单调性；(3)设g(x)＝x3－x2，试比较f(x)与g(x)的大小．[解析](1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)．又x＝－2和x＝1为f(x)的极值点，所以f′(－2)＝f′(1)＝0.因此解方程组得a＝－，b＝－1.(2)因为a＝－，b＝－1，所以f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)．令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.因为当x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－2,0)和(1，＋∞)上单调递增；在(－∞，－2)和(0,1)上单调递减．(3)由(1)知，f(x)＝x2ex－1－x3－x2，故f(x)－g(x)＝x2ex－1－x3＝x2(ex－1－x)．令h(x)＝ex－1－x，则h′(x)＝ex－1－1，令h′(x)＝0得x＝1.因为x∈(－∞，1]时，h′(x)≤0，所以h(x)在(－∞，1]上单调递减，故x∈(－∞，1]时，h(x)≥h(1)＝0；因为x∈[1，＋∞)时，h′(x)≥0，所以h(x)在x∈[1，＋∞)时单调递增，故x∈[1，＋∞)时，h(x)≥h(1)＝0，所以对任意的x∈(－∞，＋∞)，恒有h(x)≥0，又x2≥0，因此f(x)－g(x)≥0，故对任意的x∈(－∞，＋∞)，恒有f(x)≥g(x)．2