高中数学 第四章 导数及其应用 4.1 导数概念 4.1.2 问题探索——求作抛物线的切线分层训练 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

4．1.2问题探索——求作抛物线的切线一、基础达标1．已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()A．2B．4C．6＋6d＋2d2D．6答案B2．已知曲线y＝x2－2上的一点P(1，－)，则过点P的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．165°答案B3．如果曲线y＝2x2＋x＋10的一条切线与直线y＝5x＋3平行，则切点坐标为()A．(－1，－8)B．(1,13)C．(1,12)或(－1,8)D．(1,7)或(－1，－1)答案B4．曲线y＝在点P(3,1)处的切线斜率为()A．－B．0C.D．1答案C解析＝＝.当Δx→0时，→.5．若曲线y＝x2＋1在曲线上某点处的斜率为2，则曲线上该切点的坐标为________．答案(1,2)6．曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线方程为________．答案2x－y＋1＝0解析＝Δx＋2，当Δx→0时，Δx＋2→2.所以曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线斜率为2，其方程为y－3＝2(x－1)．即为2x－y＋1＝0.7．抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行，求点P的坐标及切线方程．解设点P(x0，y0)，＝＝d＋2x0，d→0时，d＋2x0→2x0.抛物线在点P处的切线的斜率为2x0，由于切线平行于2x－y＋4＝0，∴2x0＝2，x0＝1，即P点坐标为(1,1)，切线方程为y－1＝2(x－1)，即为2x－y－1＝0.二、能力提升18．曲线y＝－在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝x－2B．y＝xC．y＝x＋2D．y＝－x－2答案A解析＝＝，当Δx→0时，→1.曲线y＝－在点(1，－1)处的切线的斜率为1，切线方程为y＋1＝1×(x－1)，即y＝x－2.9．曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率为________．答案7解析＝＝Δx＋7，当Δx→0时，Δx＋7→7，所以，f(x)在A处的切线的斜率为7.10．曲线f(x)＝x2＋3x在点A处的切线的斜率为7，则A点坐标为________．答案(2,10)解析设A点坐标为(x0，x＋3x0)，则＝＝Δx＋(2x0＋3)，当Δx→0时，Δx＋(2x0＋3)→2x0＋3，∴2x0＋3＝7，∴x0＝2.x＋3x0＝10.A点坐标为(2,10)．11．已知抛物线y＝x2＋1，求过点P(0,0)的曲线的切线方程．解设抛物线过点P的切线的切点为Q(x0，x＋1)．则＝Δx＋2x0.Δx→0时，Δx＋2x0→2x0.∴＝2x0，∴x0＝1或x0＝－1.即切点为(1,2)或(－1,2)．所以，过P(0,0)的切线方程为y＝2x或y＝－2x.即2x－y＝0或2x＋y＝0.三、探究与创新12．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求切点的坐标及a的值．解设切点A(x0，y0)，＝＝3x－2x0＋(3x0－1)d＋d2→3x－2x0(d→0)．故曲线上点A处切线斜率为3x－2x0，∴3x－2x0＝1，∴x0＝1或x0＝－，代入C的方程得或代入直线l，当时，a＝0(舍去)，当时，a＝，即切点坐标为(－，)，a＝.2