高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 计时双基练60 定点、定值、探索性问题 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

计时双基练六十定点、定值、探索性问题A组基础必做1．(2015·课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点。(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由。解(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a)。又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，即x－y－a＝0。y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，即x＋y＋a＝0。故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0。(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2。将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0。故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a。从而k1＋k2＝＋＝＝。当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意。2．(2015·四川卷)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且PC·PD＝－1。(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点。是否存在常数λ，使得OA·OB＋λPA·PB为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由。解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)。又点P的坐标为(0,1)，且PC·PD＝－1，于是解得a＝2，b＝。所以椭圆E的方程为＋＝1。(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)。联立方程得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0。其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，所以，x1＋x2＝－，x1x2＝－。从而，OA·OB＋λPA·PB＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－－λ－2。所以，当λ＝1时，－－λ－2＝－3。此时，OA·OB＋λPA·PB＝－3为定值。当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD。此时，OA·OB＋λPA·PB＝OC·OD＋PC·PD＝－2－1＝－3。故存在常数λ＝1，使得OA·OB＋λPA·PB为定值－3。3．(2015·山西四校联考)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为A，P是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F。(1)求椭圆C的方程；(2)动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在？求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由。解(1)由题知F(c,0)，A(0，b)，FA·FP＝0，得c2－c＋＝0，①又点P在椭圆C上，所以＋＝1，a2＝2，②b2＋c2＝a2＝2，③①③联立解得，c＝1，b2＝1，故所求椭圆的方程为＋y2＝1。(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程，消去y，整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，(*)因为方程(*)有且只有一个实根，又2k2＋1>0，所以Δ＝0，得m2＝2k2＋1。假设存在M1(λ1,0)，M2(λ2,0)满足题设，则由d1·d2＝＝＝＝1对任意的实数k恒成立，得解得或当直线l的斜率不存在时，经检验符合题意。综上，在x轴上存在两个定点M1(1,0)，M2(－1,0)它们到直线l的距离之积等于1。B组培优演练1.(2015·陕西卷)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为。(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2。解(1)由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝。所以椭圆的方程为＋y2＝1。(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0。由已知Δ>0。设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，则x1＋x2＝，x1x2＝。从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2。2．(2016·大庆模拟)设抛物线C的方程为x2＝8y，M为直线l：y＝－m(m>0)上任意一点，过M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B。(1)当M的坐标为(0，－2)时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；(2)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，有几个这样的点？若不存在，请说明理由。解(1)当M的坐标为(0，...