1.2应用举例第3课时三角形中的几何计算A级基础巩固一、选择题1．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，a＝5，b＝4，cosC＝，则△ABC的面积是()A．8B．6C．4D．2解析：因为cosC＝，C∈(0，π)，所以sinC＝，所以S△ABC＝absinC＝×5×4×＝6.答案：B2．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则()A．A＝30°B．A＝60°C．A＝30°或150°D．A＝60°或120°解析：因为S＝bcsinA＝，所以×2×sinA＝，所以sinA＝，所以A＝60°或120°.答案：D3．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为()A.B.C.D．2解析：S△ABC＝AB·AC·sinA＝.答案：B4．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则S△ABC＝()A.B.C.D．3解析：S△ABC＝absinC＝×2×3×＝.答案：B5．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝，cosA＝，则△ABC的面积等于()A.B.C．2D．3解析：因为b2－bc－2c2＝0，所以(b－2c)(b＋c)＝0，所以b＝2c.由a2＝b2＋c2－2bccosA，解得c＝2，b＝4，因为cosA＝，所以sinA＝，所以S△ABC＝bcsinA＝×4×2×＝.答案：A二、填空题6．△ABC中，下述表达式：①sin(A＋B)＋sinC；②cos(B＋C)＋cosA表示常数的是________．解析：①sin(A＋B)＋sinC＝sin(π－C)＋sinC＝2sinC，不是常数；②cos(B＋C)＋cosA＝cos(π－A)＋cosA＝0，是常数．答案：②17．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．解析：因为a－b＝4，所以a＞b，又因为a＋c＝2b，所以b＋4＋c＝2b，所以b＝4＋c，所以a＞b＞c.所以最大角为A，所以A＝120°，所以cosA＝＝－，所以b2＋c2－a2＝－bc，所以b2＋(b－4)2－(b＋4)2＝－b(b－4)，即b2＋b2＋16－8b－b2－16－8b＝－b2＋4b，所以b＝10，所以a＝14，c＝6.故周长为30.答案：308．在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，a＝2(＋1)，则三角形的面积S＝________．解析：由正弦定理＝，且B＝45°，A＝180°－B－C＝75°，a＝2(＋1)，得b＝＝4，S＝absinC＝×2(＋1)×4×sin60°＝6＋2.答案：6＋2三、解答题9．某市在进行城市环境建设时，要把一个三角形的区域改造成一个公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为70m，90m，120m，这个区域面积是多少？解：设a＝70m，b＝90m，c＝120m.根据余弦定理的推论，cosB＝＝＝，sinB＝＝.应用S＝casinB，得S＝×120×70×＝1400(m2)，即这个区域的面积为1400m2.10.如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2×××cos30°＝，故PA＝.(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得＝，化简得cosα＝4sinα，所以tanα＝，即tan∠PBA＝.B级能力提升1．在△ABC中，若cosB＝，＝2，且S△ABC＝，则b等于()A．4B．3C．2D．12解析：依题意得：c＝2a，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋(2a)2－2×a×2a×＝4a2，所以b＝c＝2a.因为B∈(0，π)，所以sinB＝＝，又S△ABC＝acsinB＝××b×＝，所以b＝2.答案：C2．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔的距离为2km，B船在灯塔C北偏西处40°，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔的距离为________km.解析：由题意知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，AC＝2，AB＝3，设B船到灯塔的距离为x，即BC＝x.由余弦定理可知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，即9＝4＋x2－2×2x×(－)，整理得x2＋2x－5＝0，解得x＝－1－(舍去)或x＝－1＋.答案：－13．已知△ABC的面积为1，tanB＝，tanC＝－2，求△ABC的各边长以及△ABC外接圆的面积．解：因为tanB＝＞0，所以B为锐角．所以sinB＝，cosB＝.因为tanC＝－2＜0，所以C为钝角．所以sinC＝，cosC＝－.所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝·＋·＝.因为S△ABC＝absinC＝2R2sinAsinBsinC＝2R2×××＝1.所以R2＝，R＝.所以πR2＝π，即外接圆的面积为π.所以a＝2RsinA＝，b＝2RsinB＝，c＝2RsinC＝.3
