高中数学 第二章 数列 2.5.2 等比数列前n项和的性质及应用学业分层测评 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP免费

2.5.2等比数列前n项和的性质及应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是()A．1,1B．－1，－1C．1,0D．－1,0【解析】S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.【答案】D2．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于()A．31B．33C．35D．37【解析】根据等比数列性质得＝q5，∴＝25，∴S10＝33.【答案】B3．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于()A．7B．8C．15D．16【解析】设{an}的公比为q，∵4a1,2a2，a3成等差数列，∴4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，∴q＝2，又a1＝1，∴S4＝＝15，故选C.【答案】C4．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝()A．135B．100C．95D．80【解析】由等比数列的性质知a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，公比为＝，∴a7＋a8＝40×3＝135.【答案】A5．数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a30＋b30＝60，则{an＋bn}的前30项的和为()A．1000B．1020C．1040D．1080【解析】{an＋bn}的前30项的和S30＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(a30＋b30)＝(a1＋a2＋a3＋…＋a30)＋(b1＋b2＋b3＋…＋b30)＝＋＝15(a1＋a30＋b1＋b30)＝1080.【答案】D1二、填空题6．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.【解析】设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，S2n＝，S奇＝.由题意得＝.∴1＋q＝3，∴q＝2.【答案】27．数列11,103,1005,10007，…的前n项和Sn＝________.【解析】数列的通项公式an＝10n＋(2n－1)．所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝＋＝(10n－1)＋n2.【答案】(10n－1)＋n28．如果lgx＋lgx2＋…＋lgx10＝110，那么lgx＋lg2x＋…＋lg10x＝________.【解析】由已知(1＋2＋…＋10)lgx＝110，∴55lgx＝110，∴lgx＝2.∴lgx＋lg2x＋…＋lg10x＝2＋22＋…＋210＝211－2＝2046.【答案】2046三、解答题9．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值.【解】∵S30≠3S10，∴q≠1.由得∴∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3，∴S20＝＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.10．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，求数列的前5项和．【解】若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，则a1＝0，不满足题意，故q≠1.由9S3＝S6得9×＝，解得q＝2.故an＝a1qn－1＝2n－1，＝n－1.所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为S5＝＝.[能力提升]1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝()A．3∶4B．2∶3C．1∶2D．1∶3【解析】在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.【答案】A2．设数列{an}的前n项和为Sn，称Tn＝为数列a1，a2，a3，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a3，a4，a5的理想数为2014，则数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为()A．1673B．1675C.D.【解析】因为数列a1，a2，…，a5的“理想数”为2014，所以＝2014，即S1＋S2＋S3＋S42＋S5＝5×2014，所以数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为＝＝.【答案】D3．已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，则an＝________.【解析】设等比数列{an}的公比为q，由S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.故等比数列{an}的通项公式为an＝×－n－1＝(－1)n－1×.【答案】(－1)n－1×4．已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.【解】(1)设{an}的公差为d，则由已知条件得a1＋2d＝2,3a1＋d＝，化简得a1＋2d＝2，a1＋d＝，解得a1＝1，d＝，故{an}的通项公式an＝1＋，即an＝.(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8.设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2，故{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1.3