1.3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性知识梳理1.如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)____________，这一区间叫做y=f(x)的____________，在____________上增函数的图象是____________，减函数的图象是下降的.2.设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果____________，那么f(x)为增函数；如果____________，那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为____________.知识导学要学好本节内容，重要的是要掌握好怎样利用导数研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f′(x)，通过判断函数的定义域被导数为零的点所划分的各区间内f′(x)的符号来确定函数f(x)在该区间上的单调性.疑难突破1.本节内容的重点是利用函数的导数来判断函数的单调性，难点在于如何把握导数的符号与函数单调性之间的关系.若y=f(x)在(a,b)内对任何x,都有f′(x)＞0，则f(x)在(a,b)内为增函数对吗？反之成立吗？剖析:对,反之不成立.例如y=x3在x∈R上恒为增函数,但f′(x)=3x2≥0.2.判断函数y=f(x)在某一区间内有f′(x)＞0〔或f′(x)＜0〕是函数y=f(x)在该区间上为增(或减)函数的什么条件？剖析：在某一区间内f′(x)＞0〔或f′(x)＜0〕是函数y=f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件.典题精讲【例1】讨论下列函数的单调性.(1)f(x)=ax-a-x(a＞0且a≠1);(2)f(x)=(-1＜x＜1,b≠0).思路分析：利用导数研究函数单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f′(x)，由函数定义域中导数为零的点所划分的各区间内f′(x)的符号来确定f(x)在该区间的单调性，当给定函数含有字母参数时，要运用分类讨论的思想方法.解：(1)函数定义域为R.f′(x)=axlna-a-x·lna·(-x)′=lna(ax+a-x).当a＞1时,lna＞0,ax+a-x＞0,∴f′(x)＞0.∴函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数；当0＜a＜1时，lna＜0,ax+a-x＞0,∴f′(x)＜0.∴函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.(2)函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在(0，1)上的单调性.当0＜x＜1时，f′(x)=b·.若b＞0，则f′(x)＜0,函数f(x)在(0，1)上是减函数；若b＜0，则f′(x)＞0,函数f(x)在(0，1)上是增函数.又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，所以当b＞0时，函数f(x)在(-1，1)上是减函数；当b＜0时，函数f(x)在(-1，1)上是增函数.1绿色通道：在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误判断.明确利用导数判断函数单调性的基本步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0;(4)确定f(x)的单调区间.变式训练：求下列函数的单调区间，并指出其单调性.(1)y=2x-lnx;(2)y=+cosx;(3)y=x3-x.思路分析：按判断函数单调性的方法解之即可.解：(1)函数的定义域为(0，+∞)，其导数f′(x)=.令＞0,解得x＞;令＜0,得0＜x＜.因此，(，+∞)为该函数的单调增区间，(0，)为该函数的单调减区间.(2)函数的定义域为R，f′(x)=-sinx.令-sinx＜0，解得2kπ+＜x＜2kπ+(k∈Z)；令-sinx＞0，解得2kπ-＜x＜2kπ+(k∈Z).因此f(x)在(2kπ+,2kπ+)(k∈Z)上为减函数,在(2kπ-,2kπ+)(k∈Z)上为增函数.(3)函数的定义域为R，令y′=3x2-1＞0，得x＜.令y′=3x2-1＜0，得,∴y=x3-x有三个单调区间.其中在(-∞,)和(,+∞)上是增函数，在(,)上为减函数.【例2】已知x∈R,求证：ex≥x+1.思路分析：首先需构造函数，对函数进行求导并判断函数的单调性.证明：令f(x)=ex-x-1,∴f′(x)=ex-1. x∈R,∴ex-1≥0恒成立，即f′(x)≥0.∴f(x)在x∈R上为增函数.又 f(0)=0,∴当x∈R时,f(x)≥f(0)，即ex-x-1≥0.∴ex≥x+1.绿色通道：这是一类构造函数再求导的题目，这种方法常用来证明不等式的成立.变式训练：证明不等式ln(1+x)＞x-x2(x＞0).2证明：令f(x)=ln(1+x)-x+21x2,则f′(x)=.当x＞-1时,f′(x)＞0，因此f(x)在(-1,+∞)内为增函数.于是当x＞0时，f(x)＞f(0)=0.∴当x＞0时，ln(1+x)＞x-21x2.【例3】已知f(x)=x2+c,且f［f(x)］=f(x2+1).(1)设g(x)=f［f(x)］,求g(x)的解析式；(2)设φ(x)=g(x)-λf(x),试问:是否存在实...
