3.2.3利用空间向量求空间角、空间距离问题A级：基础巩固练一、选择题1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C.D.答案A解析不妨设CB＝1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)．∴BC1＝(0,2，－1)，AB1＝(－2,2,1)．cos〈BC1，AB1〉＝＝＝，故选A.2.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为()A.B.C.D．1答案B解析过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，A1C＝(1,2，－3)，A1E＝(x，y，z－3)，BE＝(x－1，y，z)．因为所以解得所以BE＝，所以点B到直线A1C的距离|BE|＝，故选B.3．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1，3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为()A．10B．3C.D.答案D解析点P到平面α的距离d＝＝＝.4．如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()1A．120°B．45°C．135°D．60°答案B解析以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，EB＝(1,0，－1)，EC＝(1,1，－1)．设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则即可取n＝(1,0,1)．又平面EAD的法向量为AB＝(1,0,0)，所以cos〈n，AB〉＝＝，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.5．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.答案A解析设AB＝1，则AA1＝2，以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则D(0,0,2)，C1(0,1,0)，B(1,1,2)，C(0,1,2)，∴DB＝(1,1,0)，DC1＝(0,1，－2)，DC＝(0,1,0)，设n＝(x，y，z)为平面BDC1的法向量，则即取n＝(－2,2,1)，设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ＝＝＝.6．已知矩形ABCD与ABEF全等，D－AB－E为直二面角，M为AB中点，FM与BD所成角为θ，且cosθ＝.则AB与BC的边长之比为()2A．1∶1B.∶1C.∶2D．1∶2答案C解析设AB＝a，BC＝b，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则相关各点坐标为F(b,0,0)，M，B(0，a,0)，D(0,0，b)．FM＝，BD＝(0，－a，b)，所以|FM|＝，|BD|＝，FM·BD＝－，|cos〈FM，BD〉|＝＝，整理得4×＋5×－26＝0，解得＝2或＝－(舍去)，所以＝＝.二、填空题7．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．答案解析设BA＝b，BC＝a，BD＝c.由条件知a·b＝，a·c＝0，b·c＝0，又AD＝BD－BA＝c－b，平面AA1C1C的法向量BM＝(a＋b)．设直线AD与平面AA1C1C所成角为θ，则sinθ＝|cos〈AD，BM〉|＝.∴AD·BM＝(c－b)·(a＋b)＝a·c－a·b＋b·c－|b|2＝－，|AD|2＝(c－b)2＝|c|2＋|b|2－2b·c＝2.∴|AD|＝，又|BM|2＝(a＋b)2＝(|a|2＋|b|2＋2a·b)＝，∴|BM|＝，∴sinθ＝.38.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为________．答案a解析由正方体的性质易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．显然A1C⊥平面AB1D1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)．又A(a,0,0)，B(a，a,0)，BA＝(0，－a,0)，则两平面间的距离d＝＝＝a.三、解答题9．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．解(1)证明：如图，取AB的中点O，连接CO，A1O，A1B. CA＝CB，∴CO⊥AB，又 AA1＝AB，∠BAA1＝60°，∴△BAA1为正三角形，∴AB⊥A1O，又A1O∩OC＝O，∴AB⊥平面A1OC. A1C⊂平面A1OC，∴AB⊥A1C.(2)以O为原点，OA所在直线为x轴，OA1所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(1,0,0)，A1(0，，0)，B(－1,0,0)，C(0,0，)，B1(－2，，0)，则BC＝(1,0，)，BB1＝(－1，，0)，A1C＝(0，－，)，设n＝(x，y，z)...
