高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 导数的实际应用学业分层测评 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学试题VIP免费

3.3.3导数的实际应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．做一个容积为256m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A．6mB．8mC．4mD．2m【解析】设底面边长为xm，高为hm，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为Sm2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0得x＝8，因此h＝＝4(m)．【答案】C2．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为()A．2m3B．3m3C．4m3D．5m3【解析】设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h＝＝(4.5－3x)，故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3，从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)，当0＜x＜1时，V′(x)＞0；当1＜x＜时，V′(x)＜0，故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，从而最大体积为V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)．【答案】B3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌墙壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)()【导学号：25650137】A．32,16B．30,15C．40,20D．36,18【解析】要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短．设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2x＋(x＞0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最小．【答案】A4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元【解析】毛利润为(P－20)Q，即f(P)＝(P－20)(8300－170P－P2)，f′(P)＝－3P2－300P＋11700＝－3(P＋130)(P－30)．1令f′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍去)．又P∈[20，＋∞)，故f(P)max＝f(P)极大值，故当P＝30时，毛利润最大，∴f(P)max＝f(30)＝23000(元)．【答案】D5．三棱锥OABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O-ABC体积的最大值为()A．4B．8C.D.【解析】V＝×·y＝＝＝(0＜x＜3)，V′＝＝2x－x2＝x(2－x)．令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．∴x＝2时，V最大为.【答案】C二、填空题6．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．【解析】设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，所以L＝.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，令S′表＝2πR－＝0，得R＝3，即当R＝3时，S表最小．【答案】37．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．【解析】设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x>0)，所以y′＝2，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.当0200时，y′>0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．【答案】8008．某公司生产某产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R＝R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品单位数是________．【解析】由题知，总成本C＝20000＋100x.所以总利润P＝R－C＝P′＝令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大．【答案】300三、解答题9．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？【解】设该厂生产x件这种产品利润为L(x)，则L(x)＝500x－2500－C(x)2＝500x－2500－＝300x－x3－2500(x∈N)，令L′(x)＝300－x2＝0，得x＝60(件)，又当0≤x≤60时，L′(x)>0，x>60时，L′(x)<0，所以x＝60是L(x)的极大值点，也是最大值点．所以当x＝60时，L(x)max＝9500元．10．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.【导学号：25650138】【解】设容器底面较短的边长为xm，则容...