变化率与导数、导数的计算(强化练)[学生用书P127(单独成册)]一、选择题1．若y＝x2·4x，则y′＝()A．x2·4x＋2xB．(2x＋x2)·4xC．(2x＋x2ln4)·4xD．(x＋x2)·4x解析：选C.y′＝(x2)′·4x＋x2(4x)′＝2x·4x＋x2·4xln4＝(2x＋x2ln4)·4x，故选C.2．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝3x－4B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3D．y＝4x－5解析：选B.因为点(1，－1)在曲线y＝x3－3x2＋1上，所以该点处切线的斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－6x)|x＝1＝3－6＝－3，所以切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.3．若曲线f(x)＝ax－lnx在点(1，f(1))处的切线与y＝2x平行，则a＝()A．0B．1C．2D．3解析：选D.f′(x)＝a－，由题意得f′(1)＝2，即a－1＝2，所以a＝3.4．(2019·张掖高二检测)曲线f(x)＝在点(1，－2)处的切线方程为()A．2x－y－4＝0B．2x＋y＝0C．x－y－3＝0D．x＋y＋1＝0解析：选C.因为f′(x)＝，所以f′(1)＝1，故曲线f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.5．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1解析：选A.由y′＝2x＋a，得y′|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1，故选A.6．设a为实数，已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为()A．y＝3x＋1B．y＝－3xC．y＝－3x＋1D．y＝3x解析：选B.因为f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3为偶函数，所以a＝0，所以f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，所以f′(0)＝－3，所以所求切线方程为y＝－3x，故选B.7．给出下列结论：①′＝－sin＝－；②若y＝，则y′＝－2x－3；③若f(x)＝3x，则[f′(1)]′＝3；④若y＝，则y′＝.其中正确的个数是()1A．1B．2C．3D．4解析：选A.cos＝，为常数，则′＝0，所以①错误；y′＝′＝(x－2)′＝－2x－3，所以②正确；因为f(x)＝3x，所以f′(x)＝3，所以[f′(1)]′＝0，所以③错误；因为y′＝()′＝(x)′＝x－，所以④错误．8．(2019·济南高二检测)已知P为曲线y＝lnx上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则|PQ|min＝()A．0B．C.D．2解析：选C.如图，当直线l与曲线y＝lnx相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为|PQ|的最小值．易知(lnx)′＝，令＝1，得x＝1.故此时点P的坐标为(1，0)，所以|PQ|min＝＝.9．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是()A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3解析：选A.设两切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．选项A中，y′＝cosx，cosx1cosx2＝－1，当x1＝0，x2＝π时满足，故选项A中的函数具有T性质；选项B，C，D中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不可能为－1，故选A.10．函数f(x)＝lnx＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－∞，2)C．(2，＋∞)D．(0，＋∞)解析：选B.因为f′(x)＝＋a，直线2x－y＝0的斜率为2，由题意知存在x>0，使得＋a＝2，即2－a>0，a<2.二、填空题11．设y＝－2exsinx，则y′＝________．解析：y′＝－2[(ex)′sinx＋ex(sinx)′]＝－2(exsinx＋excosx)＝－2ex(sinx＋cosx)．答案：－2ex(sinx＋cosx)12．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．解析：f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝，故f(1)＋f′(1)＝3.答案：313．(2019·开封高二检测)如图，y＝f(x)是可导函数，若直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．2解析：因为直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，所以f(3)＝1.因为点(3，1)在直线l上，所以3k＋2＝1，从而k＝－，所以f′(3)＝k＝－.因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，则g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×(－)＝0.答案：014．若直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________．解析：设切点为(x0，y0)，因为y′＝，所以＝，所以x0＝2，所以y0＝ln2，ln2＝×2＋b，所...
