高中数学第2章圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用应用案巩固提升湘教版选修2-1-湘教版高二选修2-1数学试题VIP免费

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高中数学第2章圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用应用案巩固提升湘教版选修2-1-湘教版高二选修2-1数学试题_第1页

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第2课时椭圆方程及性质的应用[A基础达标]1．点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是()A．－C．－2b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP＝2PB，则椭圆的离心率是()A.B.C.D.解析：选D.如图，由于BF⊥x轴，故xB＝－c，yB＝.设P(0，t)，因为AP＝2PB，所以(－a，t)＝2.所以a＝2c，所以＝.6．椭圆＋y2＝1被直线x－y＋1＝0所截得的弦长|AB|＝__________．解析：由得交点为(0，1)，，则|AB|＝＝.答案：7．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为__________．1解析：将椭圆与直线方程联立：解得交点A(0，－2)，B.设右焦点为F，则S△OAB＝·|OF|·|y1－y2|＝×1×＝.答案：8．已知椭圆的方程为＋＝1(m＞0)．如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为________．解析：焦点在x轴上，由题意知，M.又因为点M在y＝x上，所以＝，解得m＝2，所以e＝＝＝.答案：9．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点．(1)求AB的中点坐标；(2)求△ABF2的周长与面积．解：(1)由＋＝1，知a＝，b＝，所以c＝1.所以F1(－1，0)，F2(1，0)，所以直线l的方程为y＝x＋1，由消去y，整理得5x2＋6x－3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，x0＝＝－，y0＝＝＝＋1＝(或y0＝x0＋1＝－＋1＝)，所以AB的中点坐标为.(2)由题意，知F2到直线AB的距离d＝＝＝，|AB|＝·＝，所以S△ABF2＝|AB|d＝××＝，所以△ABF2的周长为4a＝4，面积为.10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A，B是直线l：x＝2上的不同两点，若AF1·BF2＝0，求|AB|的最小值．解：(1)由题意，得，解得所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由(1)，知F1(－，0)，F2(，0)．不妨设直线l：x＝2上的不同两点A，B的坐标分别为A(2，y1)，B(2，y2)，则AF1＝(－3，－y1)，BF2＝(－，－y2)．由AF1·BF2＝0，得y1y2＋6＝0，即y2＝－，不妨设y1＞0，则|AB|＝|y1－y2|＝y1＋≥2(当且仅当y1＝，y2＝－时取等号)，所以|AB|的最小值是2.[B能力提升]11．F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为()2A.－1B．2－C.D.解析：选A.易知圆F2的半径为c，又直线MF1恰与圆F2相切，所以∠F1MF2是直角，因为|F1F2|＝2c，|MF2|＝c，|F1M|＝2a－c，所以在直角三角形F1MF2中，有(2a－c)2＋c2＝4c2，化简得c2＋2ac－2a2＝0，即＋2－2＝0，所以e＝＝－1(负值舍去)．故选A.12．椭圆＋＝1(a>b>0)与过A(2，0)、B(0，1)的直线有且只有一个公共点，且椭圆的离心率e＝，则椭圆的方程为________．解析：过A、B的直线方程为＋y＝1.由题意得有唯一解．即x2－a2x＋a2－a2b2＝0有唯一解．所以Δ＝a2b2(a2＋4b2－4)＝0(ab≠0)，故a2＋4b2－4＝0.①又因为e＝，即＝，所以a2＝4b2.②由①②得a2＝2，b2＝，故所求的椭圆方程为＋2y2＝1.答案：＋2y2＝113．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的...

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