课时跟踪检测（十二）“数列与数学归纳法”专题提能课A组——易错清零练1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝10，S30＝130，则S40＝()A．－510B．400C．400或－510D．30或40解析：选B等比数列{an}中，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，且由题意知，S20>0，所以S10(S30－S20)＝(S20－S10)2，即10(130－S20)＝(S20－10)2，解得S20＝40，又(S20－S10)(S40－S30)＝(S30－S20)2，即30(S40－130)＝902，解得S40＝400.2．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，那么S100的值为()A．2500B．2600C．2700D．2800解析：选B当n为奇数时，an＋2－an＝0⇒an＝1，当n为偶数时，an＋2－an＝2⇒an＝n，故an＝于是S100＝50＋＝2600.3．在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B当an＝0时，也有an＝2an－1，n＝2,3，4，…，但{an}不是等比数列，因此充分性不成立；当{an}是公比为2的等比数列时，有＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立．4．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，则bn＝________.解析：当n＝1时，a1＝S1＝2，因为Sn＝n2＋1，Sn－1＝(n－1)2＋1(n≥2)，两式相减得an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，所以当n≥2时，an＝2n－1，又a1＝2不符合上式，所以an＝因为bn＝，所以bn＝答案：5．已知一个等比数列{an}的前4项之积为，第2,3项的和为，则数列{an}的公比q＝________.解析：设数列{an}的前4项分别为a，aq，aq2，aq3，则可得所以(1＋q)4＝64q2，即(1＋q)2＝±8q，当q>0时，可得q2－6q＋1＝0，解得q＝3±2，当q<0时，可得q2＋10q＋1＝0，解得q＝－5±2.综上，q＝3±2或q＝－5±2.答案：3±2或－5±2B组——方法技巧练1．已知正项数列{an}中，a1＝1，且(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，则它的通项公式为(1)A．an＝B．an＝C．an＝D．an＝n解析：选B因为(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，所以[(n＋2)an＋1－(n＋1)an](an＋1＋an)＝0.又{an}为正项数列，所以(n＋2)an＋1－(n＋1)an＝0，即＝，则an＝··…··a1＝··…··1＝.故选B.2．(2019届高三·豫南十校联考)设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)．若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是()A.B.C.D.解析：选C在f(x)·f(y)＝f(x＋y)中，令x＝n，y＝1，得f(n＋1)＝f(n)f(1)，又a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则an＋1＝an，所以数列{an}是首项和公比都是的等比数列，其前n项和Sn＝＝1－∈，故选C.3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．解析：因为an＋1＝(n∈N*)，所以＝＋1，设＋t＝3，所以3t－t＝1，解得t＝，所以＋＝3，又＋＝1＋＝，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以＋＝×3n－1＝，所以＝，所以an＝.答案：an＝4．(2018·惠州调研)已知数列{an}中，点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上，且首项a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{bn}的前n项和为Tn，请写出适合条件Tn≤Sn的所有n的值．解：(1)根据已知a1＝1，an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2＝d，所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.(2)数列{an}的前n项和Sn＝n2.等比数列{bn}中，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，所以q＝3，bn＝3n－1.数列{bn}的前n项和Tn＝＝.Tn≤Sn即≤n2，又n∈N*，所以n＝1或2.C组——创新应用练1．(2018·襄阳四校联考)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：2(1)构造数列1，，，，…，；①(2)将数列①的各项乘以，得到一个新数列a1，a2，a3，a4，…，an.则a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝()A.B.C.D.解析：选C依题意可得新数列为，，，…，×，所以a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝＝＝×＝.故选C.2．已知数列{an}的通项公式为an＝log(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的n叫做“优数”，则在(0,2018]内的所有“...
