第9课对数与对数函数[最新考纲]内容要求ABC对数√对数函数的图象与性质√1．对数的概念如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫作以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．(2)换底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN，③logaMn＝nlogaM(n∈R)．3．对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫作对数函数图象a＞10＜a＜1性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数4.反函数指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log2x2＝2log2x.()(2)当x＞1时，logax＞0.()1(3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．()(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象不在第二、三象限．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(2017·启东中学高三第一次月考)函数f(x)＝定义域为________．∪(2，＋∞)[由得02.]3．(2017·泰州中学高三摸底考试)已知＋＝2，则a＝________.[ ＋＝2，∴loga2＋loga3＝2，∴loga6＝2，∴a2＝6，a>0，∴a＝.]4．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图91，则下列结论成立的是________．(填序号)图91①a＞1，c＞1；②a＞1,0＜c＜1；③0＜a＜1，c＞1；④0＜a＜1,0＜c＜1.④[由图象可知y＝loga(x＋c)的图象是由y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，其中0＜c＜1.再根据单调性可知0＜a＜1.]5．(教材改编)若loga＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．∪(1，＋∞)[当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.即实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]对数的运算(1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于________．(2)(2017·南通第一次学情检测)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋b＝________.(1)(2)4[(1) 2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m＝.(2) logba＝，∴由logab＋logba＝得logab＝3或logab＝.又 a>b>1，∴logab＝，即a＝b3.又ab＝ba，∴a＝3b，∴a＝3，b＝，2∴a＋b＝4.][规律方法]1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．3．ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．[变式训练1](1)已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为________．(2)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.(1)24(2)[(1) 3＜2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×3＝24.(2) a＝log43＝log223＝log23＝log2，∴2a＋2－a＝2log2＋2－log2＝＋2log2＝＋＝.]对数函数的图象及应用(1)(2017·南通二调)已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，a≠1，b∈R)的图象如图92所示，则a＋b的值是________．图92(2)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.【导学号：62172048】(1)(2)(1，＋∞)[(1)由题图可知解得b＝4，a＝，∴a＋b＝.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．][规律方法]1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[变式训练2]...
