§1命题1.下列语句:①是无限循环小数;②x2-3x+=0;③当x=4时,2x>0;④把门关上.其中不是命题的是()A.①②③B.②④C.④D.②③④解析:①是命题,因为是陈述句并能判断真假.②不是命题,因为语句中含有变量x,在没给变量x赋值前,我们无法判断语句的真假.③是命题,能作出判断的语句,是一个真命题.④不是命题,不能作出判断.答案:B2.有下列命题:①mx2+2x-1=0是一元二次方程;②抛物线y=ax2+2x-1与x轴至少有一个交点;③互相包含的两个集合相等;④空集是任何集合的真子集.真命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:命题①中当m=0时,方程是一元一次方程;命题②中,由题设知a≠0,则Δ=4+4a,Δ的值可能为正数,可能为负数,也可能为零,故交点个数可能为0,1,2;命题④中,空集不是空集的真子集;命题③为真命题.答案:A3.有下列四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.其中真命题为()A.①②B.②③C.①③D.③④解析:②“三角形不全等,则面积不相等”,为假命题;④“三个内角相等的三角形为不等边三角形”,为假命题.而①③为真命题,故选C.答案:C4.已知命题p:无穷数列{an}的前n项和为Sn,若{an}是等差数列,则点列{(n,Sn)}在一条抛物线上;命题q:若实数m>1,则关于x的不等式mx2+(2m-2)x-1>0的解集为(-∞,+∞).对于命题p的逆否命题s与命题q的逆命题r,下列判断正确的是()A.s是假命题,r是真命题B.s是真命题,r是假命题C.s是假命题,r是假命题D.s是真命题,r是真命题解析:对于命题p,当{an}为常数数列时为假命题,从而其逆否命题s也是假命题;由于使mx2+(2m-2)x-1>0的解集为(-∞,+∞)的m不存在,故命题q的逆命题r是假命题.答案:C5.命题“若x=2或x=3,则x2-5x+6=0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数为()A.0B.2C.3D.4解析:原命题是真命题,所以其逆否命题也是真命题;它的逆命题是:若x2-5x+6=0,则x=2或x=3,是真命题,所以它的否命题也是真命题.答案:A6.给定下列命题:①若k>0,则方程x2+2x-k=0有实根;②“若a>b,则a+c>b+c”的否命题;③“矩形的对角线相等”的逆命题;④“若xy=0,则x,y中至少有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是.解析:①Δ=4+4k>0,∴是真命题;②否命题为“若a≤b,则a+c≤b+c”,是真命题;③逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”,是假命题;④否命题为“若xy≠0,则x,y都不为0”,是真命题.答案:①②④7.已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的实根,命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,若p,q有真有假,则实数m的取值范围是.解析:p为真时:Δ=m2-4>0,∴m<-2或m>2.q为真时:Δ=[4(m-2)]2-4×4×1<0,∴10,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.解:(方法一) m>0,∴4m>0,∴4m+1>0.∴方程x2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0.∴方程x2+x-m=0有实数根.∴原命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”为真命题.又 原命题与它的逆否命题等价,∴“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题也为真.(方法二)原命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题为“若x2+x-m=0无实数根,则m≤0”. x2+x-m=0无实数根,∴Δ=4m+1<0,∴m<-≤0.∴“若x2+x-m=0无实数根,则m≤0”为真.10.已知命题:如果|a|≤1,那么关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集为空集,写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.解:逆命题:如果关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集为空集,那么|a|≤1.否命题:如果|a|>1,那么关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集非空.逆否命题:如果关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0...
