抛物线方程及性质的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.过抛物线y2=4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在【解析】选B.由定义|AB|=5+2=7，因为|AB|min=4，所以这样的直线有两条.【补偿训练】过点M(3，2)作直线l与抛物线y2=8x只有一个交点，这样的直线共有()A.0条B.1条C.2条D.3条【解析】选B.因为点M(3，2)在抛物线y2=8x的内部，所以过点M平行x轴的直线y=2适合题意，因此只有一条.2.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，点A，B是C的准线与E的两个交点，则=()A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0)，右焦点为(c，0)，依题意得解得a=4，由b2=a2-c2=16-4=12，所以椭圆E的方程为+=1，因为抛物线C：y2=8x的准线为x=-2，将x=-2代入到+=1，解得A(-2，3)，B(-2，-3)，故=6.3.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点.若|FA|=2|FB|，则k=()A.B.C.D.【解析】选D.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，1由消去y得，k2x2+4x(k2-2)+4k2=0，所以x1+x2=，x1x2=4.由抛物线定义得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，又因为|AF|=2|BF|，所以x1+2=2x2+4，所以x1=2x2+2代入x1x2=4，得+x2-2=0，所以x2=1或-2(舍去)，所以x1=4，所以=5，所以k2=，因为k>0，所以k=.4.(2015·商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A.B.C.1D.2【解析】选D.由题意知，抛物线的准线l：y=-1，过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1，则|MM1|=.|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|+|BF|≥6，|AA1|+|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x轴的距离d≥2.【拓展延伸】“两看两想”的应用与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.【补偿训练】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.B.3C.D.【解析】选A.抛物线y2=2x的焦点为F，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0，2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0，2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，不难得出相应的最小值就等于焦点F到点2(0，2)的距离.因此所求的最小值等于=.5.(2015·青岛高二检测)在平面直角坐标系内，点P到点A(1，0)，B(a，4)及到直线x=-1的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，那么a=()A.1B.2C.2或-2D.1或-1【解题指南】满足条件的点P恰好只有一个，可以从点P满足的方程有唯一解入手.【解析】选D.依题意得，一方面，点P应位于以点A(1，0)为焦点、直线x=-1为准线的抛物线y2=4x上；另一方面，点P应位于线段AB的中垂线y-2=-(x-)上.由于要使这样的点P是唯一的，因此要求方程组有唯一的实数解.结合选项进行检验即可.当a=1时，抛物线y2=4x与线段AB的中垂线有唯一的公共点，适合题意；当a=-1时，线段AB的中垂线方程是y=x+2，易知方程组有唯一实数解.综上所述，a=1或a=-1.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知点F为抛物线y2=-8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值是________.【解析】由|AF|=4及抛物线定义得A到准线的距离为4.所以A点横坐标为-2，所以A(-2，4)或A(-2，-4).又原点关于准线的对称点的坐标为B(4，0)，所以|PA|+|PO|的最小值为|AB|==2.3答案：27.(2015·延安高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则的值是________.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，易知直线AB的方程为y=x-p，代入抛物线方程y2=2px，可得3x2-5px+p2=0，所以x1+x2=p，x1x2=，可得x1=p，x2=，可得===3.答案：38.(2015·黄石高二检测)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点.若AB的中点为(2，2)，则直线l...
