3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课时过关·能力提升1.下列结论正确的是()A.若y=sinx,则y'=cosxB.若y=cosx,则y'=sinxC.若y¿1x,则y'¿1x2D.若y¿√x,则y'¿12√x答案:A2.下列命题正确的是()A.(logax)'¿1xB.(logax)'¿ln10xC.(3x)'=3xD.(3x)'=3xln3答案:D3.已知f(x)=xa,若f'(-1)=-4,则a的值等于()A.4B.-4C.5D.-5解析:f'(x)=axa-1,f'(-1)=a(-1)a-1=-4.当a=4时,a-1=3,则f'(-1)=-4成立.当a=-4时,f'(-1)=4,与题意不符.同理,a=5和-5时,与题意也不符.答案:A4.已知f(x)=x4,则f'(2)=()A.16B.24C.32D.8答案:C★5.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cosx)'=-sinx.由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)解析:观察可知偶函数的导函数是奇函数,由f(-x)=f(x)知f(x)为偶函数,故g(x)为奇函数,从而g(-x)=-g(x).答案:D6.常数的导数为0的几何意义是.答案:函数y=C的图象上每一点处的切线的斜率为07.曲线y=cosx在点x¿π2处的切线方程为.解析:cosπ2=0,即求曲线y=cosx上点(π2,0)处的切线方程,y'=-sinx,当x¿π2时,y'=-1.所以切线方程为y=-1·(x-π2),即x+y−π2=0.1答案:x+y−π2=0★8.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak2¿处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N+.若a1=16,则a1+a3+a5的值是.解析:∵函数y=x2,y'=2x,∴函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2¿处的切线方程为y−ak2=2ak(x-ak),令y=0得ak+1=12ak.又∵a1=16,∴a3=12a2=14a1=4,a5=14a3=1,∴a1+a3+a5=16+4+1=21.答案:219.当常数k为何值时,直线y=x才能与曲线y=x2+k相切?并求出切点.分析:利用切点处的导数等于切线的斜率可求切点的横坐标,进一步可求k.解:设切点A(x0,x02+k¿.因为y'=2x,所以{2x0=1,x02+k=x0.所以{x0=12,k=14.故当k¿14时,直线y=x与函数y=x2+14的图象相切于一点,切点坐标为(12,12).★10.已知点P(π3,a)在曲线y=cosx上,直线l是以点P为切点的切线.(1)求a的值;(2)求过点P与直线l垂直的直线方程.分析:(1)点P在曲线上,将其坐标代入曲线方程即可求得a;(2)利用导数先求直线l的斜率,即可得到所求直线斜率,然后用点斜式写出所求直线方程.解:(1)∵P(π3,a)在曲线y=cosx上,∴a=cosπ3=12.(2)∵y'=-sinx,∴kl=y'|x=π3=−sinπ3=−√32.又∵所求直线与直线l垂直,2∴所求直线的斜率为−1kl=2√33,∴所求直线方程为y−12=2√33(x-π3),即y¿2√33x−2√3π9+12.3
