2017高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积习题A组基础巩固一、选择题1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是()A．|a|＝B.|a·b|＝|a||b|C．λ(a·b)＝λa·bD．|a·b|≤|a||b|[答案]B[解析]|a·b|＝|a||b||cosθ|，故B错误．2．(2015～2016学年河北省正定中学月考试题)已知向量a、b，其中a＝(－2，－6)，|b|＝，a·b＝－10，则a与b的夹角为()A．150°B.－30°C．－60°D．120°[答案]D[解析]cos
＝＝＝－，所以向量a与b的夹角为120°.3．已知向量a与b的夹角为，|a|＝，则a在b方向上的投影为()A.B.C.D．[答案]C[解析] a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝cos＝，选C.4．(2015·福建)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于()A．－B.－C.D．[答案]A[解析]因为c＝(1＋k,2＋k)，b·c＝0，所以1＋k＋2＋k＝0，解得k＝－，故选A.5．(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D．π[答案]A[解析]由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝3a2－2b2.又|a|＝|b|，所以a·b＝3·(|b|)2－2b2＝b2，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝，故选A.6．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，AB＝2a＋2b，AC＝2a－6b，D为BC中点，则|AD|等于()A．2B.4C．6D．8[答案]A[解析]因为AD＝(AB＋AC)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|AD|2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×(3－2×2××cos＋4)＝4，则|AD|＝2.7．(2015·福建)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP＝＋，则PB·PC的最大值等于()A．13B.15C．19D．21[答案]A[解析]依题意，以点A为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点P(1,4)，B(，0)，C(0，t)，所以PB·PC＝(－1，－4)·(－1，t－4)＝(－1)×(－1)－4×(t－4)＝17－－4t≤17－2＝13(当且仅当＝4t，即t＝时取等号)，所以PB·PC的最大值为13，故选A.二、填空题8．(2015·北京东城质量检测)已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.[答案]8[解析]由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝＝8.9．(2015·山西四校联考)圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若AB＋AC＝2AO，且|OA|＝|AC|，则向量BA在向量BC方向上的投影为________.[答案]3[解析] AB＋AC＝2AO，∴O是BC的中点，故△ABC为直角三角形．在△AOC中，有|OA|＝|AC|，∴∠B＝30°.由定义，向量BA在向量BC方向上的投影为|BA|cos∠B＝2×＝3.10．单位圆上三点A，B，C满足OA＋OB＋OC＝0，则向量OA，OB的夹角为________.[答案]120°[解析] A，B，C为单位圆上三点，∴|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，又OA＋OB＋OC＝0，∴－OC＝OB＋OA，∴OC2＝(OB＋OA)2＝OB2＋OA2＋2OB·OA，可得cos〈OA，OB〉＝－，∴向量OA，OB的夹角为120°.11．(2015·浙江)已知e1、e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.[答案][解析]不妨设b＝xe1＋ye2，则b·e1＝x＋＝1，b·e2＝＋y＝1，因此可得x＝y＝，所以|b|＝|e1＋e2|＝.三、解答题12．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．[答案](1)①4，②16(2)－7[解析]由已知得：a·b＝4×8×(－)＝－16.(1)① |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.② |4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝16.(2) (a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksinθ，t)(0≤θ≤).(1)若AB⊥a，且|AB|＝|OA|，求向量OB；(2)若向量AC与向量a共线，当k＞4，且tsinθ取最大值4时，求OA·OC.[答案](1)(24,8)或(－8，－8)(2)32[解析](1)由题设知AB＝(n－8，t)，...
