（新课标）高考数学二轮复习（三）立体几何专练 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

(三)立体几何专练1．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，∠CBA＝，ABEF为直角梯形，BE∥AF，∠BAF＝，BE＝2，AF＝3，平面ABCD⊥平面ABEF.(1)求证：AC⊥平面ABEF；(2)求三棱锥DAEF的体积．2．如图，P为正方形ABCD外一点，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2，E为PD的中点．(1)求证：PA⊥CE；(2)求四棱锥PABCD的表面积．3．如图，四棱锥SABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，M，N分别为SA，SC的中点，E为棱SB上的一点，且SE＝2EB，证明：(1)MN∥平面ABCD；(2)DE⊥平面SBC.4．在平面四边形ACBD(图①)中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′-ABD.(1)当C′D＝时，求证：平面C′AB⊥平面DAB；(2)当AC′⊥BD时，求三棱锥C′ABD的高．答案1．解：(1)证明：在△ABC中，AB＝1，∠CBA＝，BC＝2，所以AC2＝BA2＋BC2－2BA×BCcos∠CBA＝3，所以AC2＋BA2＝BC2，所以AB⊥AC.又因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面ABEF.(2)连接CF.因为CD∥AB，所以CD∥平面ABEF，所以点D到平面ABEF的距离等于点C到平面ABEF的距离，又AC＝，所以VDAEF＝VCAEF＝××＝.2．解：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF，则EF∥AD∥BC，即EF，BC共面．∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BC，又BC⊥AB且PB∩AB＝B，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA.∵PB＝AB，∴BF⊥PA，又BC∩BF＝B，∴PA⊥平面EFBC，∴PA⊥CE.(2)设四棱锥PABCD的表面积为S，∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥CD，又CD⊥BC，PB∩BC＝B，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PC，即△PCD为直角三角形，由(1)知BC⊥平面PAB，而AD∥BC，∴AD⊥平面PAB，故AD⊥PA，即△PAD也为直角三角形．综上，S＝PC·CD＋PB·CB＋PA·AD＋AB·PB＋AB·BC＝8＋4.3．证明：(1)连接AC，∵M，N分别为SA，SC的中点，∴MN∥AC，又MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴MN∥平面ABCD.(2)连接BD，∵BD2＝12＋12＝2，BC2＝12＋(2－1)2＝2，BD2＋BC2＝2＋2＝4＝DC2，∴DB⊥BC，又SD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴SD⊥BC，∵SD∩DB＝D，∴BC⊥平面SDB，∵DE⊂平面SDB，∴BC⊥DE，又SB＝＝＝，且SE＝2EB，∴EB＝，在△EBD与△DBS中，＝＝，＝＝，∴＝，又∠EBD＝∠DBS，∴△EBD∽△DBS，∴∠DEB＝∠SDB＝90°，即DE⊥SB，∵SB∩BC＝B，∴DE⊥平面SBC.4．解：(1)证明：当C′D＝时，取AB的中点O，连接C′O，DO，在Rt△AC′B，Rt△ADB中，AB＝2，则C′O＝DO＝1，∵C′D＝，∴C′O2＋DO2＝C′D2，即C′O⊥OD，又C′O⊥AB，AB∩OD＝O，AB，OD⊂平面ABD，∴C′O⊥平面ABD，∵C′O⊂平面ABC′，∴平面C′AB⊥平面DAB.(2)当AC′⊥BD时，由已知AC′⊥BC′，∴AC′⊥平面BDC′，∵C′D⊂平面BDC′，∴AC′⊥C′D，△AC′D为直角三角形，由勾股定理，C′D＝＝＝1，而△BDC′中，BD＝1，BC′＝，∴△BDC′为直角三角形，S△BDC′＝×1×1＝.三棱锥C′ABD的体积V＝×S△BDC′×AC′＝××＝.S△ABD＝×1×＝，设三棱锥C′ABD的高为h，则由×h×＝，解得h＝.