（浙江专用）高考数学一轮复习 专题探究课四-人教版高三全册数学试题VIP免费

【创新设计】（浙江专用）2017版高考数学一轮复习专题探究课四(建议用时：80分钟)1.如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点.求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.证明(1)如图建立空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4).取AB中点为N，连接CN，则N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，∴DE＝(－2，4，0)，NC＝(－2，4，0)，∴DE＝NC，∴DE∥NC，又 NC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC.故DE∥平面ABC.(2)B1F＝(－2，2，－4)，EF＝(2，－2，－2)，AF＝(2，2，0).B1F·EF＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，B1F·AF＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴B1F⊥EF，B1F⊥AF，即B1F⊥EF，B1F⊥AF，又 AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.2.(2016·金华高三联考)如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝λAD＝λAA′(λ＞0)，E，F分别是A′C′和AD的中点，且EF⊥平面A′BCD′.(1)求λ的值；(2)求二面角C－A′B－E的余弦值.解以D为原点，DA，DC，DD′分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AA′＝AD＝2，则AB＝2λ，D(0，0，0)，A′(2，0，2)，D′(0，0，2)，B(2，2λ，0)，C(0，2λ，0)，E(1，λ，2)，F(1，0，0).(1)EF＝(0，－λ，－2)，D′A′＝(2，0，0)，A′B＝(0，2λ，－2)，1 EF⊥D′A′，EF⊥A′B，∴EF·D′A′＝0，EF·A′B＝0，即－2λ2＋4＝0，∴λ＝.(2)设平面EA′B的一个法向量为m＝(1，y，z)，则 A′B＝(0，2，－2)，A′E＝(－1，，0)，∴，∴y＝，z＝1，∴m＝.由已知得EF为平面A′BC的一个法向量，又EF＝(0，－，－2)，∴cos〈m，EF〉＝＝＝－.又二面角C－A′B－E为锐二面角，故二面角C－A′B－E的余弦值为.3.(2015·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC，(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.(1)证明如图，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.在Rt△FDG中，可得FG＝.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝，从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)解如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G－xyz，由(1)可得A(0，－，0)，E(1，0，)，F，C(0，，0)，所以AE＝(1，，)，CF＝.故cos〈AE，CF〉＝＝－.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.4.(2015·陕西卷)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2.2(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.(1)证明在图1中，因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，图1∠BAD＝，所以BE⊥AC，即在图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，且A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC.又在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，E为AD中点，所以BC綊ED，所以四边形BCDE为平行四边形，故有CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.图2(2)解由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，又由(1)知，BE⊥OA1，BE⊥OC，所以∠A1OC为二面角A1－BE－C的平面角，所以∠A1OC＝.如图2，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BC∥ED，所以B，E，A1，C，得BC＝，A1C＝，CD＝BE＝(－，0，0)，设平面A1BC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD夹角为θ，则得取n1＝(1，1，1)；得取n2＝(0，1，1)，从而cosθ＝|cosn1，n2|＝＝，3即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.5.(2016·杭州七校联考)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E、F分别是线段AB、BC的中点.(1)求证：PF⊥FD；(2)在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB与平面...