高中数学 课时跟踪检测（五）正弦定理、余弦定理的应用 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪检测（五）正弦定理、余弦定理的应用层级一学业水平达标1．若水平面上点B在点A南偏东30°方向上，在点A处测得点B的方位角是()A．60°B．120°C．150°D．210°解析：选C方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角．如图所示，点B的方位角是180°－30°＝150°.故选C.2．A，B两点在河的两岸，为测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在河岸边选定一点C，测出A，C两点间的距离是100m，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，则A，B两点间的距离是()A．40mB．50mC．60mD．70m解析：选B由已知得到示意图如图，已知AC＝100m，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，所以∠ABC＝90°，所以AB＝AC＝50m，故选B.3.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200m，点C位于BD上，则山高AB等于()A．100mB．50(＋1)mC．100(＋1)mD．200m解析：选C设AB＝xm，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝xm.在Rt△ABD中，∠D＝30°，BD＝x， BD－BC＝CD，∴x－x＝200，解得x＝100(＋1)．4．一船沿北偏西45°方向航行，看见正东方向有两个灯塔A，B，AB＝10nmile，航行h后，看见一灯塔在其南偏东60°方向上，另一灯塔在其南偏东75°方向上，则这艘船的速度是()A．5nmile/hB．5nmile/hC．10nmile/hD．10nmile/h解析：选D如图所示，由题意知∠COA＝135°，∠ACO＝∠ACB＝∠ABC＝15°，∠OAC＝30°，AB＝10，∴AC＝10.在△AOC中，由正弦定理可得＝，∴OC＝5，∴v＝＝10，∴这艘船的速度是10nmile/h，故选D.5.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°方向上且相距20nmile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于()A.B.1C.D.解析：选B如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°＋30°＝120°，AC＝20nmile，AB＝40nmile.由余弦定理，得BC2＝202＋402－2×20×40×cos120°＝2800，所以BC＝20nmile.过C作CD⊥AB交BA的延长线于D.在△ACD中，∠ACD＝30°，AC＝20nmile，所以CD＝10nmile.所以cosθ＝cos∠DCB＝＝＝.6．一船以22km/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东15°，则灯塔S与B之间的距离为________km.解析：如图，∠ASB＝180°－15°－45°＝120°，AB＝22×＝33，由正弦定理，得＝，∴SB＝66(km)．答案：667.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC＝50°，∠CBE＝70°，AC＝90，BC＝150，则DE＝________.解析：由题意知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝902＋1502－2×90×150×＝44100.∴AB＝210，DE＝210.答案：2108．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．解析：如图所示，设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理：DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.当t＝时，DE最小．答案：9．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(＋1)nmile的海面上有一台风中心，影响半径为20nmile，正以10nmile/h的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(＋1)h后开始持续影响基地2h．求台风移动的方向．解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.由题意AB＝20(＋1)，DC＝20，BC＝(＋1)·10＝10(＋)．在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝＝.2所以∠BAC＝30°，又因为B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，所以点D位于A的正北方向，又因为∠ADC＝45°，所以台风移动的方向为北偏西45°.10.如图，测量人员沿直线MNP的方向...