高中数学 第一章 解三角形 专题1.1.1 正弦定理试题 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP免费

1.1.1正弦定理1．正弦定理在ABC△中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即____________．正弦定理对任意三角形都成立．2．解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的____________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．K知识参考答案：1．sinsinsinabc==ABC2．元素解三角形K—重点正弦定理的变形和推广、正弦定理在解三角形中的应用K—难点三角形解的个数的探究、三角形形状的判断K—易错解三角形时要明确角的取值范围，同时注意对角的讨论正弦定理的常见变形及推广（1）sinsinsin,,,sinsin,sinsin,sinsinsinsinsinAaCcBbaBbAaCcAbCcBBbAaCc．（2）sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinabcabacbcabcABCABACBCABC．（3）::sin:sin:sinabcABC．1（4）正弦定理的推广：2sinsinsinabcRABC，其中R为ABC△外接圆的半径．（1）已知△ABC中，sin:sin:sin=1:2:3ABC，则a:b:c=_____________；（2）已知△ABC中，A=60，3a，则++sin+sin+sinabcABC=_____________．【答案】（1）1:2:3；（2）2．【解析】（1）根据正弦定理的变形，可得=sin:sin:sin=1:2:3a:b:cABC．（2）方法1：设=sinsinabAB==(>0)sinckkC，则有sinsinsinakAbkBckC，，，从而sinsinsinsinsinsinsinsinsinabckAkBkCkABCABC==，又32sinsin60akA，所以sinsinsinabcABC=2．方法2：根据正弦定理的变形，可得2sinsinsinsinabcaABCA==．【名师点睛】熟记正弦定理的变形，可使解题过程更加简捷，从而达到事半功倍的效果．在ABC△中，求证：22sin2sin22sinaBbAabC．【答案】证明见解析．【解析】设ABC△外接圆的半径为R，则2sin,2sin,aRAbRB于是222222sin2sin2(2sin)sin2(2sin)sin28sinsin(sincoscossin)8sinsinsin22sin2sinsin2sin,aBbARABRBARABABABRABCRARBCabC所以22sin2sin22sinaBbAabC．【解题技巧】===2sinsinsinabcRABC的两种变形的应用：（1）（边化角）2sin,2sin,2sinaRAbRBcRC；2（2）（角化边）sin,sin,sin222abcABCRRR．正弦定理在解三角形中的应用、三角形解的个数的探究1．正弦定理可以用来解决下列两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．2．三角形解的个数的探究（以已知ab，和A解三角形为例）（1）从代数角度来看①若sinsin1bAB=a，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；②若sinsin1bAB=a，则满足条件的三角形的个数为1；③若sinsin1bAB=a，则满足条件的三角形的个数为1或2．注：对于（3），由sin0sin1bAB=a可知B可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”、“三角形内角和等于180°”等进行讨论．（2）从几何角度来看①当A为锐角时：一解一解两解无解②当A为钝角或直角时：3一解一解无解无解（1）已知在ABC△中，10,45,30cAC，则a_______，b_______，B_______；（2）已知在ABC△中，3,60,1bBc，则a_______，A_______，C_______；（3）已知在ABC△中，6,45,2cAa，求b和,BC．【答案】（1）102，5652，105；（2）2，90，30；（3）见解析．【解析】（1）10,45,30180()105cACBACQ，，由sinsinacAC，得sin10sin45102sinsin30cAaC，由sinsinbcBC，得sin10sin10562205652sinsin304cBbC．（2） sin1sin601,sinsinsin23bccBCBCb，,60,bcBCBQ，C为锐角，30,90CA，∴222cba．（3）sin6sin453,sinsinsin22accACACaQ，sin,60cAacCQ或120，当60C时，sin6sin7575,31sinsin60cBBbC，4当120C时，sin6sin1515,31sinsin60cBBbC．31,75,60bBC或31,15,120bBC．【解题技巧】（1）已知三角形的两角与一边解三角形时，由三角形内角和定...