课时作业50利用空间向量证明平行与垂直一、选择题1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析：若l∥α，则a·n＝0，D中，a·n＝1×0＋(－1)×3＋3×1＝0，∴a⊥n.答案：D2．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A.B.C.D.解析：因为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，所以AB＝(－1,1,0)，AC＝(－1,0,1)．经验证，当n＝时，n·AB＝－＋0＝0，n·AC＝＋0－＝0，故选D.答案：D3．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面内D.平行或在平面内解析： AB＝λCD＋μCE，∴AB，CD，CE共面．则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．答案：D4．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为()A．平行B．异面C．垂直D．以上都不对解析：以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)．∴PM＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，AM＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，∴PM·AM＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，即PM⊥AM，∴AM⊥PM.答案：C5．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为()A．(1,1,1)B.C.D.解析：设AC∩BD＝O，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，又O是正方形ABCD对角线交点，∴M为线段EF的中点．在空间坐标系，E(0,0,1)，F(，，1)．由中点坐标公式，知点M的坐标.答案：C6．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则()A．EF至多与A1D，AC之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面解析：以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A1D＝(－1,0，－1)，AC＝(－1,1,0)，EF＝，BD1＝(－1，－1,1)，EF＝－BD1，A1D·EF＝AC·EF＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.故选B.答案：B二、填空题7．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)．则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．解析：AB＝(0,1，－1)，AC＝(1,0，－1)，∴n·AB＝0，n·AC＝0，∴n⊥AB，n⊥AC，故n也是α的一个法向量．又 α与β不重合，∴α∥β.答案：平行8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是________．解析： AB·AP＝0，AD·AP＝0.∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．又AB与AD不平行，∴AP是平面ABCD的法向量，则③正确．由于BD＝AD－AB＝(2,3,4)，AP＝(－1,2，－1)，∴BD与AP不平行，故④错误．答案：①②③9．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．解析：以D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，所以B1E＝(x－1,0,1)，又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，所以FB＝(1,1，y)，由于AB⊥B1E，故若B1E⊥平面ABF，只需FB·B1E＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0⇒x＋y＝1.答案：1三、解答题10．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.求证：(1)BC1⊥AB1；(2)BC1∥平面CA1D.证明：如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．(1)由于BC1＝(0，－2，－2)，AB1＝(－2,2，－2)，所以BC1·AB1＝0－4＋4＝0，因此BC1⊥AB1，故BC1⊥AB1.(2)连接A1C，取A1C的中点E，连接DE，...
