核心素养测评四十空间中的平行关系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.如果AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段,则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是()A.平行B.相交C.AC在此平面内D.平行或相交【解析】选A.把这三条线段放在正方体内如图,显然AC∥EF,AC⊄平面EFG.EF⊂平面EFG,故AC∥平面EFG.2.给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面α,β,γ的三个命题:①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β;②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数为()A.3B.2C.1D.0【解析】选C.①中当α与β不平行时,也可能存在符合题意的l,m.②中l与m也可能异面.③中⇒l∥m,同理l∥n,则m∥n,正确.3.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中,下列判断正确的是()A.平面BME∥平面ACNB.AF∥CNC.BM∥平面EFDD.BE与AN相交【解析】选A.作出如图所示的正方体.易知AN∥BM,AC∥EM,所以AN∥平面BEM,AC∥平面BEM,又AN∩AC=A,所以平面ACN∥平面BEM.4.在三棱锥P-ABC中,点D在PA上,且PD=DA,过点D作平行于底面ABC的平面,交PB,PC于点E,F,若△ABC的面积为9,则△DEF的面积是()A.1B.2C.4D.【解析】选A.由于平面DEF∥底面ABC,因此DE∥AB,DF∥AC,EF∥BC,所以==,所以△DEF∽△ABC,所以=,而S△ABC=9,所以S△DEF=1.5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条【解析】选D.由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图所示,CD,AB均与平面EFGH平行,E,F,G,H分别在BD,BC,AC,AD上,且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为________.【解析】因为CD∥平面EFGH,而平面EFGH∩平面BCD=EF,所以CD∥EF.同理HG∥CD,所以EF∥HG.同理HE∥GF,所以四边形EFGH为平行四边形.又因为CD⊥AB,所以HE⊥EF,所以平行四边形EFGH为矩形.答案:矩形7.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的直线n与α,β分别交于B,D且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为________.【解析】根据题意可得到如图两种情况:可求出BD的长分别为或24.答案:24或8.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β;②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n;③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β;④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的序号)【解析】当m⊥n,m⊥α,n∥β时,两个平面的位置关系不确定,故①错误,经判断知②③④均正确,故正确命题为②③④.答案:②③④三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别为线段A1B,AC1的中点.求证:MN∥平面BB1C1C.【证明】如图,连接A1C.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C为平行四边形.又因为N为线段AC1的中点,所以A1C与AC1相交于点N,即A1C经过点N,且N为线段A1C的中点.因为M为线段A1B的中点,所以MN∥BC.又因为MN⊄平面BB1C1C,BC⊂平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.10.如图所示的一块木料中,棱BC平行于平面A′B′C′D′.(1)要经过平面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?(2)所画的线与平面ABCD是什么位置关系?并证明你的结论.【解析】(1)过点P作B′C′的平行线,交A′B′,C′D′于点E,F,连接BE,CF;作图如下:(2)EF∥平面ABCD.证明如下:易知BE,CF与平面ABCD相交,因为BC∥平面A′B′C′D′,又因为平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′=B′C′,所以BC∥B′C′,因为EF∥B′C′,所以EF∥BC,又因为EF⊄平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.(15分钟35分)1.(5分)(多选)下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的选项是()【解析】选AD.A中易知NP∥AA′,MN∥A′B,NP∩MN=N,AA′∩A′B=A′,所以平面MNP∥平面AA′B,又AB⊂平面AA′B,可得出AB∥平面MNP(如图).D中,NP∥AB,NP⊂平面MNP,能得出AB∥平面MNP.2.(5分)如图所示...
