高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 抛物线及其标准方程作业1 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学试题VIP免费

2.2.1抛物线及其标准方程[基础达标]1.已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，则它的标准方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．x2＝8yD．x2＝－8y解析：选D.＝2，∴p＝4，焦点在y轴负半轴上，故其标准方程为x2＝－8y.2.抛物线x2＝8y的准线方程为()A．y＝－2B．x＝－2C．y＝－4D．x＝－4解析：选A.其焦点为(0，2)，故准线方程为y＝－2.3.点P为抛物线y2＝2px上任一点，F为焦点，则以P为圆心，以|PF|为半径的圆与准线l()A．相交B．相切C．相离D．位置由F确定解析：选B.圆心P到准线l的距离等于|PF|，∴相切．4.如图，南北方向的公路L，A地在公路正东2km处，B地在A北偏东60°方向2km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等．现要在曲线PQ上某处建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B修建公路的费用都为a万元/km，那么，修建这两条公路的总费用最低是()A．(2＋)a万元B．(2＋1)a万元C．5a万元D．6a万元解析：选C.依题意知曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线L的距离即可． B地在A地北偏东60°方向2km处，∴B到点A的水平距离为3km，∴B到直线L的距离为3＋2＝5(km)，那么，修建这两条公路的总费用最低为5a万元，故选C.5.一个动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点()A．(0，2)B．(0，－2)C．(2，0)D．(4，0)解析：选C.由抛物线定义知圆心到准线x＋2＝0的距离等于到焦点F(2，0)的距离，∴动圆必过定点(2，0)．6.经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为________．解析：设抛物线的标准方程为y2＝2px或x2＝－2py，把P(4，－2)分别代入得(－2)2＝8p或16＝－2p×(－2)；∴p＝或p＝4，故对应的标准方程为y2＝x和x2＝－8y.答案：y2＝x或x2＝－8y7.已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________．解析：圆方程可化为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3，0)，半径为4，由题意知1＝，∴p＝2.答案：28.过点A(0，2)且和抛物线C：y2＝6x相切的直线l方程为________．解析：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝0，与抛物线C相切；当直线l的斜率存在时，设其方程为y－2＝kx，与y2＝6x联立，消去x得y－2＝y2，即ky2－6y＋12＝0，由题意可知k≠0，Δ＝(－6)2－48k＝0，∴k＝，∴y－2＝x.即为3x－4y＋8＝0.答案：x＝0或3x－4y＋8＝09.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值、抛物线方程及其准线方程．解：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F的坐标为.因为M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，故解得所以所求的抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.110.一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱宽为am，求能使卡车通过的a的最小整数值．解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则点B的坐标为(，－)，由点B在抛物线上，∴()2＝－2p·(－)，p＝，∴抛物线方程为x2＝－ay.将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－.∴点E到拱底AB的距离为－|y|＝－>3.解得a>12.21， a取整数，∴a的最小整数值为13.[能力提升]1.O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．4解析：选C.设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝4，∴x0＝3，∴y＝4x0＝4×3＝24，∴|y0|＝2. F(，0)，∴S△POF＝|OF|·|y0|＝××2＝2.2.从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________．解析： 抛物线方程为y2＝4x，则准线方程为x＝－1.令P点坐标为P(x0，y0)，由图可知，|PM|＝x0＋1＝5.∴x0＝4.把x0＝4代入y2＝4x，解得y0＝±4，∴△MPF的面积为|PM|×|y0|＝×5×4＝10.答案：103.已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．解： (－2)2<8×4，∴点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部．如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，由抛物线的定义可知：|PF|...