高考达标检测（十二）函数单调性必考，导数工具离不了一、选择题1．(2017·厦门质检)函数y＝x2－lnx的单调递减区间为()A．(-1,1)B．(0,1]C．(1，＋∞)D．(0,2)解析：选B由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y′＝x－≤0，解得0＜x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．2．(2017·成都外国语学校月考)已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是()解析：选A设g(x)＝f′(x)＝2x－2sinx，g′(x)＝2－2cosx≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增．3．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足≤0，则必有()A．f(0)＋f(2)＞2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)＜2f(1)D．f(0)＋f(2)≥2f(1)解析：选A当x＜1时，f′(x)＜0，此时函数f(x)单调递减，当x＞1时，f′(x)＞0，此时函数f(x)单调递增，∴当x＝1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值，所以f(0)＞f(1)，f(2)＞f(1)，则f(0)＋f(2)＞2f(1)．4．已知函数f(x)＝xsinx，x1，x2∈，且f(x1)＜f(x2)，那么()A．x1－x2＞0B．x1＋x2＞0C．x－x＞0D．x－x＜0解析：选D由f(x)＝xsinx得f′(x)＝sinx＋xcosx＝cosx(tanx＋x)，当x∈时，f′(x)＞0，即f(x)在上为增函数，又f(－x)＝－xsin(－x)＝xsinx，因而f(x)为偶函数，∴当f(x1)＜f(x2)时有f(|x1|)＜f(|x2|)，∴|x1|＜|x2|，x－x＜0，故选D.5．(2016·吉林长春三模)定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为()A．ex1f(x2)＞ex2f(x1)B．ex1f(x2)＜ex2f(x1)C．ex1f(x2)＝ex2f(x1)D．ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定解析：选A设g(x)＝，则g′(x)＝＝，由题意g′(x)＞0，所以g(x)单调递增，当x1＜x2时，g(x1)＜g(x2)，即＜，所以ex1f(x2)＞ex2f(x1)．6．(2017·广西质检)若函数f(x)＝(x2－cx＋5)ex在区间上单调递增，则实数c的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－∞，4]C．(－∞，8]D．[－2,4]解析：选Bf′(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex， 函数f(x)在区间上单调递增，等价于x2＋(2－c)x－c＋5≥0对任意x∈恒成立，即(x＋1)c≤x2＋2x＋5，∴c≤对任意x∈恒成立， x∈，∴＝(x＋1)＋≥4，当且仅当x＝1时等号成立，∴c≤4.二、填空题7．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上的单调性为________．解析：在(0,2π)上有f′(x)＝1－cosx＞0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．答案：单调递增8．(2016·九江模拟)已知函数f(x)＝x2＋2ax－lnx，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．解析：f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立， max＝，∴2a≥，即a≥.答案：9．(2017·兰州诊断)若函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________．解析： f(x)＝x2－ex－ax，∴f′(x)＝2x－ex－a， 函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，∴f′(x)＝2x－ex－a≥0，即a≤2x－ex有解，设g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，解得x＝ln2，则当x＜ln2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，当x＞ln2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，∴当x＝ln2时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2，∴a≤2ln2－2.答案：(－∞，2ln2－2]三、解答题10．已知函数f(x)＝x－＋1－alnx，a＞0.讨论f(x)的单调性．解：由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋－＝.设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.①当Δ≤0，即0＜a≤2时，对一切x＞0都有f′(x)≥0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＞0，即a＞2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，0＜x1＜x2.所以f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值此时f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．11．(2016·武汉调研)已知函数f(x)＝xlnx.(1)若函数g(x)＝f(x)＋ax在区间[e2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥恒成立，求实数m的最大值．解：(1)由题意得g′(x)＝f′(x)＋a＝lnx＋a＋1. 函数g(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，∴当x∈[e2，＋∞)时，g′(x)≥0，即lnx＋a＋1≥0在[e2，＋∞)上...
