高中数学 第一章 推理与证明 1.1.1 归纳推理学业分层测评（含解析）北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

1.1.1归纳推理(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.数列5，9，17，33，x，…中的x等于()A.47B.65C.63D.128【解析】5＝22＋1，9＝23＋1，17＝24＋1，33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.【答案】B2.观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72016的末两位数字为()A.01B.43C.07D.49【解析】 75＝16807，76＝117649，由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72016＝74×504，故其末两位数字为01.【答案】A3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝()A.B.C.D.【解析】可以通过Sn＝n2·an(n≥2)分别代入n＝2，3，4，求得a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝.【答案】B4.我们把1，4，9，16，25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图116).图116则第n个正方形数是()A.n(n－1)B.n(n＋1)C.n2D.(n＋1)2【解析】观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.【答案】C5.如图117所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()1图117A.an＝3n－1B.an＝3nC.an＝3n－2nD.an＝3n－1＋2n－3【解析】 a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想an＝3n－1.【答案】A二、填空题6.设f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为________，猜想xn＝________.【解析】x2＝f(x1)＝＝，x3＝f(x2)＝＝，x4＝f(x3)＝＝，∴xn＝.【答案】，，7.根据给出的数塔，猜测123456×9＋7等于________.1×9＋2＝11，12×9＋3＝111，123×9＋4＝1111，1234×9＋5＝11111，12345×9＋6＝111111.【解析】由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123456×9＋7＝1111111.【答案】11111118.如图118所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝______________，an＝______________.图118【解析】依据图形特点可知当n＝6时，三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2，3，4，5，6时各图形的特点归纳得an＝3n－3(n≥2，n∈N＋).【答案】153n－3(n≥2，n∈N＋)三、解答题9.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式.【解】当n＝1时，S1＝a1＝1；当n＝2时，＝－2－S1＝－3，2∴S2＝－；当n＝3时，＝－2－S2＝－，∴S3＝－；当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.猜想：Sn＝－(n∈N＋).10.已知f(x)＝，分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【解】由f(x)＝，得f(0)＋f(1)＝＋＝，f(－1)＋f(2)＝＋＝，f(－2)＋f(3)＝＋＝.归纳猜想一般性结论为f(－x)＋f(x＋1)＝.证明如下：f(－x)＋f(x＋1)＝＋＝＋＝＋＝＝＝.[能力提升]1.(2016·西安期末检测)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A.n＋1B.2nC.D.n2＋n＋1【解析】1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域，选C.【答案】C2.(2016·南昌调研)已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，则第57个数对是()A.(2，10)B.(10，2)C.(3，5)D.(5，3)【解析】由题意，发现所给数对有如下规律：(1，1)的和为2，共1个；(1，2)，(2，1)的和为3，共2个；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和为4，共3个；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为5，共4个；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和为6，共5个.由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对.易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2，10).【答案】A3.如图119①，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图119②，如此继续下去，得图119③，……，试用n表示出第n个图形的边数an＝________.①...