第5课时函数的单调性与导数基础达标(水平一)1.函数f(x)=x3-3x2+1的单调递减区间为().A.(2,+∞)B.(-∞,2)C.(-∞,0)D.(0,2)【解析】函数f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)<0,得0
0,则当20,∴函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,(-∞,2)上单调递增.又∵2f(log2a)>f(2a).【答案】A3.已知函数f(x),g(x)满足当x∈R时,f'(x)g(x)+f(x)·g'(x)>0,若a>b,则有().A.f(a)g(a)=f(b)g(b)B.f(a)g(a)>f(b)g(b)C.f(a)g(a)0,∴f(x)g(x)在R上是增函数.∵a>b,∴f(a)g(a)>f(b)g(b).【答案】B4.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象是().【解析】在区间(-1,1)上,f'(x)>0,因此函数y=f(x)在区间(-1,1)上为增函数,易知四个选项都符合.在区间(-1,0)上,f'(x)单调递增,故y=f(x)在区间(-1,0)上增加的越来越快,函数图象应为指数增长的模式;1在区间(0,1)上,f'(x)单调递减,故y=f(x)在区间(0,1)上增加的越来越慢,函数图象应为对数增长的模式.故选B.【答案】B5.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是.【解析】f'(x)=(x-3)'ex+(x-3)(ex)'=(x-2)ex,令f'(x)>0,解得x>2.【答案】(2,+∞)6.函数y=ax3-x在R上是减函数,则实数a的取值范围为.【解析】∵y'=3ax2-1,且函数y=ax3-x在R上是减函数,∴y'=3ax2-1≤0在R上恒成立.当x=0时,y'=3ax2-1≤0在R上显然成立;当x≠0时,a≤在R上恒成立,∴a≤0.【答案】(-∞,0]7.设函数f(x)=lnx-2ax,a>0,求函数f(x)的单调区间.【解析】由题意知f(x)=lnx-2ax的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-2a,因为a>0,x>0,令-2a>0,则1-2ax>0.所以当x∈时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0.所以当a>0时,函数f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是.拓展提升(水平二)8.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示,下面四个图象中能大致表示y=f(x)的图象的是().2【解析】由题图可知,当x<-1时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0,此时y=f(x)为增函数,图象应是上升的;当-10,所以f'(x)<0,此时y=f(x)为减函数,图象应是下降的;当01时,xf'(x)>0,所以f'(x)>0,此时y=f(x)为增函数,图象应是上升的.由上述分析,可知选C.【答案】C9.如图所示的是函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象,f'(x)为函数f(x)的导函数,则不等式x·f'(x)<0的解集为.【解析】由f(x)的图象知,f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上为增函数,在(-,)内为减函数,∴当x∈(-∞,-)∪(,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-,)时,f'(x)<0.∴x·f'(x)<0的解集为{x|x<-或00得f(x)的增区间为;由y'<0得f(x)的减区间为,由于函数在(k-1,k+1)上不单调,所以解得1≤k<.【答案】311.设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R,若f(x)在区间(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.【解析】f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1),令f'(x)=0,得x1=a,x2=1.①当a<1时,若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增函数,故当0≤a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.②当a≥1时,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上为增函数,从而f(x)在(-∞,0)上也为增函数.综上所述,a的取值范围为[0,+∞).4
