不等式一、不等式的概念、性质及解法1、含参数不等式的解法例1：已知：函数f(x)=0,0,xaxxa(a＞0).解不等式：2)(xxf＜1.解：(1)当x≤0时，即解2xxa＜1,即222xax＞0，不等式恒成立，即x≤0；（2）当x＞0时，即解2xa＜1，即2)2(xax>0,因为a+2＞2,所以0a+2.由(1)(2)得，原不等式解集为(-∞,2)∪(a+2,+∞)2、含绝对值不等式的解法例2：解关于x的不等式：0922aaaxx分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想.本题的关键不是对参数a进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集.解：当029929222aaxxaxaaxxaxax即时，不等式可转化为abxa17302992)(222aaxxaxaxaaxaxax即时不等式可化为当aaaaxaax6173,323,(323故不等式的解集为或.二、线性规划例3：设不等式组1-230xxyyx所表示的平面区域是1,平面区域2与1关于直线3490xy对称,对于1中的任意一点A与2中的任意一点B,AB的最小值为____________.1例4：已知函数321()(2)13fxaxbxbx在1xx处取得极大值，在2xx处取得极小值，且12012xx，若设2zab，求实数z的取值范围.解析：/2()22fxaxbxb,又1xx处取得极大值，在2xx处取得极小值故在12(,)xx有/()0fx，在12(,)(,)xx上有/()0fx0,a方程/()0fx即2220axbxb的两根12,xx分布在(0,1),(1,2)内///(0)20(1)320(2)4520fbfabfab23204520babab又2zab，由线性规划知识易知，当过两点46(,),(4,2)77时z取得最大和最小值，z的范围为16(,8)7.三、基本不等式例5：（1）已知,ab是正常数，ab，,(0,)xy，求证：222()ababxyxy，指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数29()12fxxx（1(0,)2x）的最小值，指出取最小值时x的值．解：⑴2222222222()()2abyxyxxyababababxyxyxy2()ab，2故222()ababxyxy．当且仅当22yxabxy，即abxy时上式取等号；⑵由⑴22223(23)()252122(12)fxxxxx．当且仅当23212xx，即15x时上式取最小值，即min[()]25fx．四、不等式恒成立问题1、双变量的恒成立问题例6：已知二次函数2()23fxaxbx，对任意,0,2xRb，不等式()fxxb恒成立，求实数a的取值范围.答案：94a2、用图形解题例7：若1||xax≥12对一切x＞0恒成立，则a的取值范围是．答案：(,2]3
