高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.1 拋物线及其标准方程课后演练提升 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

2016-2017学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2.1拋物线及其标准方程课后演练提升北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．对拋物线y＝4x2，下列描述正确的是()A．开口向上，焦点为(0,1)B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为(1,0)D．开口向右，焦点为解析：拋物线方程可化为：x2＝y，∴2p＝，开口向上，焦点为，故选B.答案：B2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为()A.B．－C．8D．－8解析：由y＝ax2，得x2＝y，＝－2，a＝－.答案：B3．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：设动圆的半径为r，圆心O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x.故选A.答案：A4．焦点在x轴上，又在直线3x－4y－12＝0上的拋物线的标准方程是()A．y2＝－16xB．y2＝－12xC．y2＝16xD．y2＝12x解析：直线3x－4y－12＝0与x轴的交点坐标为(4,0)，故拋物线方程为y2＝16x.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．抛物线y2＝2px，过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为________．解析：y2＝2px过点M(2,2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋＝.答案：6．若拋物线y2＝mx与椭圆＋＝1有一个共同的焦点，则m＝________.解析：∵椭圆＋＝1的焦点为(2,0)、(－2,0)，若拋物线与椭圆共焦点(2,0)，则＝2，∴m＝8；若共焦点(－2,0)，则m＝－8，∴m＝±8.答案：±8三、解答题(每小题10分，共20分)7．在平面直角坐标系xOy中，拋物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．(1)求拋物线C的标准方程；(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程．解析：(1)由题意，可设拋物线C的标准方程为y2＝2px，因为点A(2,2)在拋物线C上，所以p＝1.因此，拋物线C的标准方程为y2＝2x.(2)由(1)可得焦点F的坐标是，又直线OA的斜率为＝1，故与直线OA垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x＋y－＝0.8．某桥的桥洞呈拋物线形，桥下水面宽16m，当水面上涨2m时，水面宽变为12m，求此时桥洞顶部距水面的高度．解析：建立坐标系如图所示，设拋物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由条件可知点B的横坐标为8，点E的横坐标为6.两点的纵坐标分别为yB＝－，yE＝－，∴yE－yB＝＝2，得p＝7，∴拋物线方程为：x2＝－14y，yE＝－，所以此时桥洞顶部距水面的高度为m.☆☆☆9．(10分)已知拋物线的顶点为直角坐标系的原点，准线方程为4x＋1＝0.(1)在拋物线上有一定点P，到拋物线焦点的距离为|PF|＝，求点P的坐标；(2)设拋物线上有一动点Q，当动点Q与点A(1,0)的距离|QA|取得最小值时，求Q点的坐1标，及|QA|的最小值．解析：(1)因为准线方程为4x＋1＝0，即x＝－，得＝，所以p＝，由题意，拋物线方程为y2＝x.设P(x1，y1)，因为|PF|等于点P到准线的距离，所以x1－＝，得x1＝，进而y1＝±，即点P坐标为或.(2)设Q(a2，a)，则|QA|＝＝，当且仅当a2＝时，|QA|取得最小值，此时Q点的坐标为或.2