课后提升训练四导数的运算法则(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.函数y=的导数是()A.B.C.-D.【解析】选A.令u=1+v2,v=lnx,则y=,所以y′x=y′u·u′v·v′x=·2v·=·2lnx·=.2.已知函数f(x)=x2+cosx,f′(x)是函数f(x)的导函数,则f′(x)的图象大致是()【解析】选A.因为函数f(x)是偶函数,所以其导函数f′(x)=x-sinx是奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除B,D两项,又因为在原点右侧靠近于原点的区间上,sinx>x,所以f′(x)<0,所以原点右侧靠近原点的图象应该落在第四象限,故选A.【补偿训练】若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f′(x)的图象是()1【解析】选A.由函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,得b<0.又f′(x)=2x+b在R上是增函数且在y轴上的截距小于0,所以选A.3.函数f(x)=的导函数为()A.f′(x)=2e2xB.f′(x)=C.f′(x)=D.f′(x)=【解析】选B.f′(x)===.4.f′(x)是函数f(x)=ln(2x+3)的导函数,则f′(-1)的值为()A.1B.2C.1或2D.4【解析】选B.因为f′(x)是函数f(x)=ln(2x+3)的导函数,f′(x)=,所以f′(-1)=2.5.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A.B.C.D.2【解析】选D.y′=-=-,设t=ex∈(0,+∞),则y′=-=-,因为t+≥2,所以y′∈[-1,0),α∈.6.为了得到函数f(x)=cos的图象,只要把函数g(x)=f′(x)的图象()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度【解题指南】先把g(x)=f′(x)化简,然后利用平移的方法求解即可.【解析】选B.g(x)=f′(x)=-sin(2x+)=cos(2x+),右移个单位长度得y=cos=cos(2x+).7.(2017·辽宁高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+lnx,则f′(e)=()A.eB.-1C.-e-1D.-e3【解析】选C.因为f′(x)=2f′(e)+,所以f′(e)=2f′(e)+,所以f′(e)=-=-e-1.8.(2017·兰州高二检测)设函数f(x)=x3+x2+tanθ,其中θ∈,则导数f′(1)的取值范围是()A.[-2,2]B.[,]C.[,2]D.[,2]【解析】选D.因为f′(x)=x2sinθ+xcosθ,所以f′(1)=sinθ+cosθ=2sin.因为θ∈,所以θ+∈.所以sin∈.所以2sin∈[,2].【补偿训练】已知函数f(x)=2lnx+8x,则的值等于__________.【解析】因为f(x)=2lnx+8x,所以f′(x)=+8,4=-2=-2f′(1)=-20.答案:-20二、填空题(每小题5分,共10分)9.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9(a≠0)都相切,则a的值为________.【解析】由y=x3得y′=3x2,设曲线y=x3上任意一点(x0,)处的切线方程为y-=3(x-x0),将(1,0)代入得x0=0或x0=.①当x0=0时,切线方程为y=0,由得ax2+x-9=0,Δ=+4·a·9=0得a=-.②当x0=时,切线方程为y=x-,由得ax2-3x-=0,Δ=32+4·a·=0得a=-1.综上①②知,a=-1或a=-.答案:-1或-510.已知函数f(x)=+sinx,其导函数记为f′(x),则f(2016)+f(-2016)+f′(2016)-f′(-2016)的值为________.【解析】由题意,得f(x)=+sinx,所以f′(x)=-+cosx,所以f(x)+f(-x)=+sinx++sin(-x)=2,f′(x)-f′(-x)=-+cosx+-cos(-x)=0,所以f(2016)+f(-2016)+f′(2016)-f′(-2016)=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)11.求下列函数的导数.(1)y=ex·lnx.(2)y=.(3)y=.(4)y=.【解析】(1)y′=+ex·lnx.(2)y′=′==6=.(3)y=u-4,u=1-3x.所以y′x=y′u·u′x=(u-4)′·(1-3x)′=-4·u-5·(-3)=12u-5=12(1-3x)-5=.(4)y=,u=ax2+bx+c.y′x=y′u·u′x=·(2ax+b)=(ax2+bx+c·(2ax+b)=.12.已知f′(x)是一次函数,x2f′(x)-(2x-1)·f(x)=1.求f(x)的解析式.【解析】由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b.把f(x),f′(x)代入方程x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1得:x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1,即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0.要使方程对任意x恒成立,则需要a=b,b=2c,c-1=0,解得a=2,b=2,c=1,所以f(x)=2x2+2x+1.【能力挑战题】设函数y=x2-2x+2的图象为C1,函数y=-x2+ax+b的图象为C2,已知过C1与C2的一个交点的两条切线互相垂直.(1)求a,b之间的关系.(2)求ab的最大值.【解析】(1)对于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2,对于C2:y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a,设C1与C2的一个交点为(x0,y0),7由题意知过交点(x0,y0)的两条切线互相垂直.所以(2x0-2)·(-2x0+a)=-1,即4-2(a+2)x0+2a-1=0,①又点(x0,y0)在C1与C2上,故有⇒2-(a+2)x0+2-b=0.②由①②消去x0,可得a+b=.(2)由(1)知:b=-a,所以ab=a=-+.所以当a=时,(ab)max=.8
