第4课时导数的运算法则基础达标(水平一)1.已知f(x)=x2f'(1),则f'(0)=().A.0B.1C.2D.3【解析】因为f(x)=x2f'(1),所以f'(x)=2xf'(1),所以f'(0)=2f'(1)×0=0.【答案】A2.已知函数f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值是().A.B.C.D.【解析】由f(x)=ax3+3x2+2,得f'(x)=3ax2+6x.所以f'(-1)=3a-6=4,解得a=.【答案】C3.若f(x)=ax2-bsinx,且f'(0)=1,f'=,则a+b等于().A.1B.0C.-1D.2【解析】因为f'(x)=2ax-bcosx,所以f'(0)=-b,f'=a-bcos=a-b,所以解得所以a+b=-1.【答案】C4.曲线y=xsinx在点处的切线与x轴、直线x=π所围成的三角形的面积为().A.B.π2C.2π2D.(2+π)2【解析】因为曲线y=xsinx在点处的切线方程为y=-x,所以此切线与x轴、直线x=π所围成的三角形的面积为.【答案】A5.若函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f'(1)=.【解析】∵f(ex)=x+ex=lnex+ex,∴f(x)=lnx+x.1∴f'(x)=+1,∴f'(1)=2.【答案】26.若f(x)=x2-2x-4lnx,则f'(x)>0的解集为.【解析】由f(x)=x2-2x-4lnx,得函数定义域为(0,+∞),且f'(x)=2x-2-==2·=2·>0,解得x>2,故f'(x)>0的解集为{x|x>2}.【答案】{x|x>2}7.设函数f(x)=x3+bx2+cx,若g(x)=f(x)-f'(x)是奇函数,求b+c的值.【解析】∵函数f(x)=x3+bx2+cx,∴f'(x)=3x2+2bx+c,∴g(x)=f(x)-f'(x)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c.∵g(x)为奇函数,∴b-3=0,-c=0,即b=3,c=0,∴b+c=3.拓展提升(水平二)8.已知直线y=kx是曲线y=lnx的切线,则k的值为().A.-eB.eC.-D.【解析】∵y'==k,∴x=,∴切点坐标为.又切点在曲线y=lnx上,∴ln=1,∴=e,k=.【答案】D9.设f0(x)=sinx,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),…,fn+1(x)=fn'(x),n∈N,则f2020(x)等于().A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【解析】∵f0(x)=sinx,∴f1(x)=f0'(x)=(sinx)'=cosx,f2(x)=f1'(x)=(cosx)'=-sinx,f3(x)=f2'(x)=(-sinx)'=-cosx,f4(x)=f3'(x)=(-cosx)'=sinx,……∴4为fn(x)的最小正周期,∴f2020(x)=f4×505(x)=f0(x)=sinx.故选A.【答案】A10.若函数f(x)=ex+2ax存在与直线y=5x+6平行的切线,则实数a的取值范围是.2【解析】∵f'(x)=ex+2a,由题意ex+2a=5有解,∴ex=5-2a,∴5-2a>0,∴a<.【答案】11.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.【解析】(1)由7x-4y-12=0,得y=x-3.当x=2时,y=,所以f(2)=.①又f'(x)=a+,所以f'(2)=.②由①②得解得故f(x)=x-.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由f'(x)=1+,知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0,得y=-,即得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,即得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).3所以曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为··|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.4
