高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4 圆锥曲线的应用应用案巩固提升 湘教版选修2-1-湘教版高二选修2-1数学试题VIP免费

2.4圆锥曲线的应用[A基础达标]1.某卫星的运行轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度是1700公里，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200公里，月球的半径约是1800公里，且近月点、远月点、月球的球心在同一直线上，此时椭圆轨道的离心率是()A.B.C.D.解析：选A.由题意知a＋c＝1700＋1800＝3500，①a－c＝200＋1800＝2000.②①＋②得2a＝5500，①－②得2c＝1500，所以e＝＝.2．如图所示，图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边的中点，双曲线均以图中F1、F2为焦点，设图中双曲线的离心率分别为e1、e2、e3，则e1、e2、e3三者之间的大小关系为()A．e1>e2>e3B．e3>e2>e1C．e2>e1＝e3D．e1＝e3>e2解析：选D.建立以F1F2的中点为原点，F1F2所在直线为x轴的直角坐标系，由双曲线的定义知|MF2|－|MF1|＝2a，设各正多边形的边长均为2，则图(1)中2a＝－1，2c＝2，e1＝＋1；图(2)中，2a＝－1，2c＝2，e2＝；图(3)中，2a＝2－2，2c＝4，e3＝＋1，所以e1＝e3>e2.3．炮弹运行的轨道是抛物线，现测得炮位A与目标B的水平距离为6000m，而当射程是6000m时，炮弹运行轨道的最大高度是1200m，在A，B间距A点500m处有一高度达350m的障碍物，则炮弹()A．不可以越过障碍物B．可以越过障碍物C．是否可以越过障碍物不确定D．以上说法均不对解析：选B.以A为坐标原点，AB为x轴建立坐标系(如图所示)，最高点坐标为O′(3000，1200)、B(6000，0)．设抛物线的方程为y－1200＝m(x－3000)2，将B点的坐标代入，得m＝－，所以抛物线方程y－1200＝－(x－3000)2，将x＝500代入，得y＝.即离炮位于500m处炮弹高度为m，大于350m，所以炮弹能越过障碍物．4.如图所示，南北方向的公路l，A地在公路的正东2km处，B地1在A地东偏北30°方向2km处，河流沿岸PQ(曲线)上任一点到公路l和A地距离相等，现要在曲线PQ上任选一处M建一座码头，向A、B两地转运货物，经测算从M到A、从M到B修建公路的费用均为a万元/千米，那么修建这条公路的总费用最低为()A．(2＋)a万元B．2(＋1)a万元C．5a万元D．6a万元解析：选C.如图，分别过M、B、A作直线MM′⊥l，BB′⊥l，AA1⊥l，垂足分别为M′、B′、A1，过点B作BB1⊥AA1，垂足为B1，连接A、B两点，由已知可得，|AB1|＝|AB|cos30°＝2×＝3.又|AA1|＝2，可得|BB′|＝3＋2＝5.由抛物线定义可得|AM|＝|MM′|.所以修路费用为(|AM|＋|MB|)a＝(|MM′|＋|MB|)a≥|BB′|a＝5a(万元)．故选C.5．我国自行研制的“中星20号”通信卫星已精确地进入预定轨道．这颗卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点与地球表面的距离为212km，远地点与地球表面的距离为41981km.已知地球半径约为6371km，则这颗卫星运行轨道的近似方程为(长、短半轴的长精确到0.1km)()A.＋＝1B.＋＝1C.－＝1D.－＝1解析：选A.以卫星运行的椭圆形轨道的中心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，使地球中心F在x轴上．点F(c，0)是椭圆的一个焦点，椭圆与x轴的交点A、B分别是近地点、远地点．设所求的卫星运行轨道的方程为＋＝1(a>b>0)．由已知得a－c＝|FA|＝6371＋212＝6583，a＋c＝|FB|＝6371＋41981＝48352，解得a＝27467.5.b＝＝＝≈17841.0.因此，所求的卫星运行轨道的近似方程为＋＝1.6．某卫星的运行轨道是以地球的中心F为左焦点的椭圆，测得该卫星的近地点A距地面r1千米，远地点B距地面r2千米，地球半径为R千米，则关于该运行轨道有以下三种说法：①焦距长为r2－r1；②短轴长为；③离心率e＝，以上说法正确的是________．解析：设椭圆轨道的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则a＋c＝r2＋R，a－c＝r1＋R.所以a＝，c＝.所以b＝＝.所以e＝＝.答案：①②③7．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是________．(填写所有正确选项的序号)①菱形；②有三条边相等的四边形；③梯形；④平行四边形；⑤有一组对角相等的四边形．解析：结合图形将各种情况逐一探究，综合应用抛物线的性质．如图(1)，任作一组斜率为k(k≠0)的直线AB、CD，使AB∥CD且均与抛物线有两个交点，则ABCD构成四边形．由于AB∥CD，结合抛物线性质知AC与BD不平行，故ABCD不可能为平行四边形，同时也不可能为菱形，但可以为...