高考达标检测（五十四）数系的扩充与复数的引入的命题3角度——概念、意义、运算一、选择题1．(2016·山东高考)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i解析：选B设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋＝2a＋2bi＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i.由复数相等的定义，得3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i.2．(2017·沈阳质量监测)已知i为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选A因为＝1＋i，其在复平面内对应的点为(1,1)，故选A.3．(2017·昆明七校调研)已知i为虚数单位，a∈R，如果复数2i－是实数，则a的值为()A．－4B．2C．－2D．4解析：选D依题意，复数2i－＝2i－＝是实数，因此4－a＝0，a＝4，选D.4．(2016·唐山统考)已知复数z满足z(1－i)＝4(i为虚数单位)，则z＝()A．1＋iB．－2－2iC．－1－iD．1－i解析：选A由题意，得z＝＝＝1＋i，故选A.5．(2017·贵阳监测)设i为虚数单位，则复数z＝的共轭复数z为()A．2－3iB．－2－3iC．－2＋3iD．2＋3i解析：选A因为z＝＝＝2＋3i，所以＝2－3i，故选A.6．(2017·四川模拟)已知x，y∈R，i为虚数单位，且(x－2)i－y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y的值为()A．4B．－4C．4＋4iD．2i解析：选B由(x－2)i－y＝－1＋i得x＝3，y＝1，则(1＋i)x＋y＝(1＋i)4＝－4.7．(2016·贵州遵义模拟)复数z＝4i2016－(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选Dz＝4i2016－＝4×1－＝4－＝2－i，故z在复平面内对应的点在第四象限．8．已知复数z＝(cosθ－isinθ)(1＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是()A．θ＝B．θ＝C．θ＝D．θ＝解析：选Cz＝(cosθ－isinθ)(1＋i)＝(cosθ＋sinθ)＋(cosθ－sinθ)i.z是纯虚数等价于等价于θ＝＋kπ，k∈Z.故选C.二、填空题9．(2016·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．解析：因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，所以＝2.答案：210．(2017·重庆巴蜀中学调研)设复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i，则复数z＝________.解析：因为(1－i)＝2i，所以＝＝＝－1＋i，所以z＝－1－i.答案：－1－i11．(2017·河北质量监测)设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(其中i为虚数单位)，则z的模为________．解析：因为z＝＝＝＝2i，所以|z|＝2.答案：212．(2016·山东实验中学诊断)在复平面内，复数对应的点到直线y＝x＋1的距离是________．解析：因为＝＝1＋i，所以复数对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x＋1的距离为＝.答案：三、解答题13．计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).解：(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.14．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若＋z2是实数，求实数a的值．解：＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.
