曲率半径的两种求解方法作者：汪邦家孙丽来源：《中学物理•高中》2014年第07期高中物理教材中出现了曲率半径，并且在高考中也出现过求曲率半径的试题.那什么是曲线的曲率半径呢？曲率半径如何求解？很多学生都发出这样的疑问.本文将讨论曲率半径的概念及求曲率半径的两种求解方法.1平面曲线的曲率半径工程技术中用曲率来描述曲线的弯曲程度.如图1所示，设曲线C是光滑的(曲线上每一处都有切线，且切线随切点的移动而连续转动).在曲线C上选定一端点M0作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s，在点M处切线的倾角为a,曲线上另外一点M，对应于弧s+As，在点M，处切线的倾角为a+Aa，那么，弧段MM，的长度为|As|，当动点从M移动到M，时切线转过的角度为|Aa|.用比值|Aa||As|来表达弧段MM的平均弯曲程度，把这比值叫做弧段MM的平均曲率，并记作=|AaAs|，当As—O时，上述平均曲率的极限叫做曲线C在点M处的曲率，记作K,K=ldadsl，把p=lK=|dsda|称为曲线C在点M的曲率半径.设曲线的直角坐标方程为y=f(x)，则p=lK=(l+yQ)3/2|y〃|.设曲线的参数方程为x=^(t)，，y=⑴则p=1K=[]-02(t)+7(t)3/2|0(t)〃(t)(p〃(t)(t)|.1.1抛物线上的曲率半径例1(2011年安徽高考题)现将一物体与水平面成a角的方向以速度v0抛出，如图2所示.则在轨迹最高点P处的曲率半径是多少？方法1数学公式法解斜抛运动参数方程x=^(t)=v0cosa・t,-12gt2,y=(t)=vOsina*t可得0(t)=vOcosag"(t)=O(l)Xt)=vOsinagt,〃(t)=把(1)、(2)两式代入p=lK=:]-02(t)+7(t)3/2|0(t)〃(t)(p〃(t)，(t)|,得p=[v20cos2a+(v0sina-gt)2]3/2v0gcosa(3)运动到轨迹最高点历时t=v0sinag(4)把(4)代入(3)，得p=v20cos2ag.方法2物理方法一般的曲线运动可以分为很多小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替.而曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上包含该点在内的一段弧，当这段弧极小时，可以把把它看作是某个圆的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径，如图3.这样在分析质点经过曲线上某点的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了.如图3中，当质点运动到A点对应的曲率半径为p,速度为vA,向心加速度为an,由向心加速度公式可得an=v2Ap.解物体在在其轨迹的最高点P处只有水平速度，其水平速度为vOcosa，最高点法向加速度an=g=v0cosa)2p，所以曲率半径p=v20cos2ag.例2将一小球以v0=10m/s的初速度从楼顶水平抛出，小球下落t=3s时位于轨迹曲线上的P点，求曲线在P位置的曲率半径和此时小球的法向加速度.方法1数学公式法平抛运动参数方程X=¥(t)=v0t,y=(t)=12gt2,得0(t)=vO,0'(t)=O(l)(t)=gt,"(t)=g(2)把(1)、(2)两式代入p=:]-02(t)+7(t)3/2|0(t)〃(t)(p〃(t)'(t)|,得p=(v20+g2t2)3/2v0g(3)把v0=10m/s，t=3s代入(3)式，得p=80m.此时小球瞬时速度v=v20+(gt)2=20m/s,所以an=v2p=5m/s2.方法2物理方法如图4所示，下落3s时，竖直速度vy=gt=103m/s.此时瞬时速度v=v20+(gt)2=20m/s，设其方向与水平方向夹角为0,则tan0=vyv0=3,得0=60°.把重力加速度g沿该点法向和切向分解，法向分加速度an=gcos60°=5m/s2.由an=v2p得p=v2an=2025m=80m.1.2椭圆上的曲率半径例3质点沿轨道方程为x2a2+y2b2=l的椭圆从A点开始做逆时针运动，如图5所示.求A、B两点的曲率半径.方法1数学公式法解椭圆的参数方程为x=^(0)=acos0,y=(0)=bsin0,可得0(O)=-asinO,0'(O)=-acosO(1)-bsin0(2)(e)=bcosB,"(&)=把(1)、(2)两式代入p=[]-02(t)+'2(t)3/2|0(t)〃(t)(p〃(t)'(t)|,得p=[a2sin20+b2cos20]3/2ab(3)A点0=0,代入(3)式得pA=b2a(4)B点0=90。,代入(3)式得pB=a2b(5)方法2物理方法解如图6所示，半径为b的圆柱面被两平面相截，其中一个平面与圆柱面轴线垂直，第二个平面与第一个平面交角为0,且满足cos0=ba•两平面的交线与圆柱面相切，如图所示.由图5可知，第一个平面与圆柱面的交线是一个半径为b的圆，第二个平面与圆柱面的交线是一半长轴为b，半短轴为a的椭圆.如图6所示建立直角坐标系，坐标原点在圆心O处，y轴过两个平面交线与圆柱面的切点C.x轴与圆的交点A、y轴与圆的另一个交点B,沿z轴方向在第二个平面上的射影正好是椭圆上的A'、B'.设一质点在半径为b的圆...
