§33向量的概念及线性运算一、课标要求：（1）向量的概念及表示(B级要求)了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义。（2）向量的线性运算(B级要求)掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理。了解向量的线性运算性质及其几何意义。二、基础知识：1、向量的有关概念⑴向量：既有________又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的______（或模）：⑵向量的表示：如向量，，……；，，，……⑶几种特殊向量①零向量：______________的向量，其方向是________的。规定：零向量与任一向量________②单位向量：长度等于_____________的向量。③平行向量：方向______或_____的非零向量：平行向量又叫__________向量：任一组平行向量都可以移到同一直线上。④相等向量：长度_________目方向________的向量。⑤相反向量：长度_________目方向_________的向量；的相反向量记作_________2、向量的运算：⑴向量的加法：①三角形法则：+=____________推广：①++……=_____________②++……+_____________②平行四边形法则：+=____________⑵向量的减法：－=____________（特别强调：方向指向被减向量）3、实数与向量的积：CBAABCD图2图1实数与向量的积是一个向量，记作______：它的长度与方向规定如下：①=____________②当＞0，与方向______；当＜0，与方向_____当=0，0.=_______4、两个向量共线定理：向量（≠）与共线的充要条件是：________________三、基础训练：1．化简：++=______________－－=______________2．下列命题中，正确的是______________①若=则=②若=，则//③若＞则＞④若//，//，则//3．在平行四边形ABCD中,=,=,=3,M为BC中点，则=_______（用，表示）4．已知与不共线，=+，=3－，=t－5，若M、N、P三点共线，则t=_______________。四、典型例题：例1．如图：在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，=，=，=⑴用，表示向量，，，⑵求证：B、E、F三点共线例2．设两个非零向，，不共线⑴若=－，＝3＋2，＝－8－2，求证：A、C、D三点共线。AEFBDC⑵若=＋，＝2－3，＝2－k，且A、C、D三点共线，求k值。例3.如图，在边长为1的正三角形中，分别是边上的点，若，．设的中点为，的中点为．学科网⑴若三点共线，求证；学科网⑵若，求的最小值．学科网学科网学科网五、课堂练习：1．已知，是不共线的非零向量，=2+k，=+3，=2－，若A、B、D三点共线，则k=_____________；2．在△ABC中，=2，=m+n，则=___________3.如图P、Q是△ABC中的BC边上的三等分点，若=，=，则=_______，=_________ABCEFMN第4题ABPQC4．若非零向量，满足=，则，满足___________
