例2015年福州市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，函数y＝x2－4x的图像与x轴交于点A。在抛物线上有一点P，经过点P的直线y＝x＋m与抛物线的对称轴交于点Q．（1）填空：抛物线的对称轴为直线_________，直线PQ与x轴的夹角为______；（2）若有一点P使得S△OQP＝S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方时，若直线AC经过点C(2,2)并与直线PQ交于点D．①求PD＋QD的最小值；②求PD·QD的最大值。图1图2动感体验请打开几何画板文件名“15福州26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，OH∶AH＝1∶3存在两种情况．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动点P在x轴下方的抛物线上运动，观察图像“＋随P”和“×随P”，可以体验到，当点P运动到A或O时，PD＋QD取得最小值；当点P与点Q重合时，PD·QD取得最大值。思路点拨1．第（2）题△OQP与△PAQ是同底三角形，把面积比转化为对应高的比，进而确定线段OA的分点的位置，从而得到直线PQ与y轴的交点坐标。2．第（3）题中，△CQD保持等腰直角三角形的形状。满分解答（1）抛物线的对称轴为直线x＝2，直线PQ与x轴的夹角为45°。（2）因为△OQP与△PAQ有公共边PQ，所以它们的面积比等于对应高的比。作OM⊥PQ于M，AN⊥PQ于N。当S△OQP＝S△PAQ时，。设直线PQ与x轴交于点H，那么。由y＝x2－4x＝x(x－4)，得A(4,0)。所以OA＝4。当点H在线段OA上时，OH＝1，H(1,0)。此时m＝－1。当点H在AO的延长线上时，OH＝2，H(－2,0)。此时m＝2。（3）①由A(4,0)、C(2,2)，得直线AC与x轴的夹角为45°，点C在抛物线的对称轴上。又因为直线PQ与x轴的夹角为45°，所以△CDQ是等腰直角三角形，CD＝QD。因此PD＋QD＝PD＋CD。在Rt△PCD中，PD＋CD＞CP。因此当P、C、D三点共线时，CP取得最小值。情形一，当P、D重合时，点P运动到点A，此时PD＋QD的最小值为CA＝。情形二，当C、D重合时，点P运动到点O，此时PD＋QD的最小值为CO＝。所以PD＋QD的最小值为。②求PD·QD的最大值。考点伸展
