培优专题1等腰三角形等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径．例1如图1-1，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数．分析AB=AC，MN=AN可知△ABC和△AMN均为等腰三角形，充分利用等腰三角形的性质寻找所求角间的关系．解：设∠BAM=∠CAN=α，∠AMN=β， MN=AN，∴∠AMN=∠MAN=β．设∠ABC=γ，在△ABC中，∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°，由于∠BCA=∠CAB=2α+β，∴4α+2β+γ=180°．在△ABM中，β=α+γ，∴4α+2β+（β-α）=180°．即3（α+β）=180°．∴α+β=60°，故∠MAC=60°．练习11．如图1-2，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）．A．7．5°B．10°C．12.5°D．18°-1-1-11-22．如图1-3，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？1-33．如图1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，∠A=20°．D是AB边上的点，且AD=BC，连结CD，则∠BDC=________．1-4例2如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD的垂直平分线HE交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由．分析要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的．解：延长AD到F，使AF=EF， △ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠A=60°．-2-1-5∴△AEF是等边三角形．∴EA=EF，∠AEF=∠A=60°．又 EH垂直平分BD，∴EB=ED，∠EBD=∠EDB．∴△EAD≌△EFB．∴AD=BF．又 BF=AF-AB=AE-AC=CE，∴AD=CE．练习21．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？1-61-71-82．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，则BD与BA的大小关系是（）A．BD>BAB．BD
