函数与导数解答题之极值点偏移问题1.（2013湖南文21)已知函数(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)证明:当时,.2.(2010天津理21）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间和极值；(Ⅱ)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，(Ⅲ)如果且证明【解析】（Ⅰ）解：f’令f’(x)=0,解得x=1当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表X()1()f’(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).Ⅲ)证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.3.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若函数的两个零点为，证明：．试题分析：（1）首先求出函数的导函数，然后利用导数研究函数的单调性与最值，进而得出所求的结果；（2）首先由函数的两个零点为并结合（1）可得0＜x1＜a＜x2，然后构造函数g(x)＝f(x)－f(2a－x)，并利用其导函数求出其函数的单调性，进而得出所证的结果.试题解析：（Ⅰ）f(x)＝－＝，（x＞0），所以当a≤0时，f(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．（Ⅱ）若函数y＝f(x)的两个零点为x1，x2（x1＜x2），由（Ⅰ）可得0＜x1＜a＜x2．令g(x)＝f(x)－f(2a－x)，（0＜x＜a）则g(x)＝f(x)＋f(2a－x)＝(x－a)[－]＜0，所以g(x)在(0，a)上单调递减，g(x)＞g(a)＝0，即f(x)＞f(2a－x)．令x＝x1＜a，则f(x1)＞f(2a－x1)，所以f(x2)＝f(x1)＞f(2a－x1)，由（Ⅰ）可得f(x)在(a，＋∞)上单调递增，所以x2＞2a－x1，故x1＋x2＞2a．4.（2016福州五校下学期第一次联考）已知函数），其图象与轴交于不同的两点，，且．（1）求实数的取值范围；（2）证明：5．已知函数）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）设两个极值点分别为，证明:．解：(Ⅰ)依题，函数Error:Referencesourcenotfound的定义域为Error:Referencesourcenotfound，所以方程Error:Referencesourcenotfound在Error:Referencesourcenotfound有两个不同根.即，方程Error:Referencesourcenotfound在Error:Referencesourcenotfound有两个不同根……………1分令Error:Referencesourcenotfound，从而转化为函数Error:Referencesourcenotfound有两个不同零点，而Error:Referencesourcenotfound（Error:Referencesourcenotfound）………………2分若Error:Referencesourcenotfound，可见Error:Referencesourcenotfound在Error:Referencesourcenotfound上恒成立，所以Error:Referencesourcenotfound在Error:Referencesourcenotfound单调增，此时Error:Referencesourcenotfound不可能有两个不同零点.………………3分若Error:Referencesourcenotfound，在Error:Referencesourcenotfound时，Error:Referencesourcenotfound，在Error:Referencesourcenotfound时，Error:Referencesourcenotfound，所以Error:Referencesourcenotfound在Error:Referencesourcenotfound上单调增，在Error:Referencesourcenotfound上单调减，从而Error:ReferencesourcenotfoundError:Referencesourcenotfound………………4分又因为在Error:Referencesourcenotfound时，Error:Referencesourcenotfound，在在Error:Referencesourcenotfound时，Error:Referencesourcenotfound，于是只须：Error:Referencesourcenotfound，即Error:Referencesourcenotfound，所以Error:Referencesourcenotfound.………………5分综上所述，Error:Referencesourcenotfound………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知Error:Referencesourcenotfound分别是方程Error:Referencesourcenotfound的两个根，即Error:Referencesourcenotfound，Error:Referencesourcenotfound，设，作差得，Error:Referencesourcenotfound，即Error:Referencesourcenotfound.………………7分原不等式等价于……………...
