等比数列的概念及通项公式(一)VIP免费

学习目标1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念．2．掌握等比数列的通项公式及推导过程．3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．回顾与复习1、等差数列定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列。数学表达式：d=an-an-1(n≥2)或d=an+1-an2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d(n∈N*)3、等差数列通项公式的推导方法：an=am+(n-m)d(n,m∈N*)归纳法累加法一、引入新课：1.细胞分裂个数组成数列:1,2,4,8,16,×××2.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:11111,,,,,24816×××3.病毒感染的计算机数构成的数列:2341,20,20,20,20,×××（1）1，2，22，23，…观察下列数列的相邻两项，并说出它们的特点.1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，记为q(q≠0).数学语言：*11(2N).nnnnaqnnaaqa且或探究：等比数列的定义1nnaaq,161,81,41,21……(2)2341,20,20,20,20,×××(3)名称等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示如果一个数列从第22项起，每一项与它前前一项的比都等于同一个同一个常数常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示.课堂互动(1)1，3，9，27，81，…(3)5，5，5，5，5，5，…(4)1，-1，1，-1，1，…是,公比q=3是,公比q=x是,公比q=-1(7)2341,,,,,(0)xxxxx(2),161,81,41,21是,公比q=12观察并判断下列数列是否是等比数列:是,公比q=1(5)1，0，1，0，1，…(6)0，0，0，0，0，…不是等比数列不是等比数列1.各项不能为零,即0na2.公比不能为零,即0q4.数列a,a,a,…0a时,既是等差数列又是等比数列;0a时,只是等差数列而不是等比数列.3.当q>0，各项与首项同号当q<0，各项符号正负相间对等比数列的理解等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。abGabG211{},,,(2).nnnnaaaan2、等比数列中相邻三项的关系)2(112naaannn思考：1、若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？提示：不一定，若a＝G＝b＝0时，不满足．所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．等比数列通项公式的推导:等比数列通项公式的推导（归纳法）qaa12qqa)(1qaa2321qaqqa)(21qaa3431qa……11nnqaadaa12dnaan)1(1dda)(1daa23da21dda)2(1daa34da31……等差数列通项公式的推导(归纳法)daann1qaann1归纳法证明：21aqa=32aqa=1nnaqa-=将等式左右两边分别相乘可得：1nq化简得：11nnqaa即：11nnqaa此式对n=1也成立)(11Nnqaann ……1nqq……12312nnaaaaaa……∴累乘法推导等比数列通项公式的推导:在等比数列｛an｝中，若已知某一项为am,公比为q,求该数列的任意项an。等比数列通项公式的推广公式：an＝amqn-m（am≠0,an≠0,m,n∈Z）+等比数列的通项公式：（nN∈﹡,q≠0）11nnaaq例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：＿＿＿＿＿＿上式还可以写成nna221可见，这个等比数列的图象都在函数的图象上，如右图所示。xy22101234nan87654321····的点函数的图象上一些孤立的图象是其对应的等比数列结论na：思考：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？-12nna结论:等比数列的图象与指数函数之间的关系:11{}.nnnxaaaqqayqq=×=×等比数列通项公式可整理为：，它的图象是函数的图象上的孤立点巩固知识典型例题6.3等比数列31182qq，；412a4112()2nna12124813111222256aaq．58118aa，，na例1在等比数列中，13a．求81,185aa解由有（2）除以（1）得21q将代人（1），得所以，数列的通项公式为本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究等比数列问题的常用方法．411aq，(1)7118aq，(2)变形１、等比数列{an}中,a...