1/4概率统计试卷A答案一、填空题(每题２分，共12分)1.0.3；0.5；2．2()21,2xex；12；1()x3.02x；１；4.13；5.DD；6.0.9二、选择题(每题2分，共12分)7.A8.B9.C10.D11.B12.A三、计算题13(本题8分).解：①.记""A有一件是不合格品，""B另一件是不合格品则根据题意可知2112()mmMmMCCCPAC22()mMCPABC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)故所求概率为()1(|)()21PABmPBAPAMm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)②.记""C有一件是不合格品，""D另一件是不合格品，则根据题意有2112()MmmMmMCCCPCC112()MmmMCCPCDC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)从而所求概率为()2(|)()1PCDmPDCPCMm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)14(本题８分).解：记""1,2,3,4iAii所选射手为第级射手（），""B任选一射手，该射手能进入决赛则根据题意由全概率公式可得414871()()(|)0.90.70.50.20.64520202020iiiPBPAPBA15(本题8分)解：易知，当0x时，()0Px⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)当0x时，()()()()()FxPxPxxxx⋯⋯⋯⋯⋯(2)此时有222()()()xPxxxe⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)所以22222200222xxxExedxed⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3)2/416(本题9分).解：记1,0iii数字恰好出现在第个位置，否则⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)则总匹配数为1nii⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)而1(1)iPn，1(0)1iPn，1,,in⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)这样就可以得到1iEn，1,,in⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)所以匹配数的数学期望为：1111nniiiEEn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)17(本题9分).解：因为120620<<1()0xydyxxPx其他1220630<<1()0xydxyyPx其他所以有(,)()()PxyPxPy，即有与是相互独立的从而有(,)(,)0CovCov⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3)又因10223Exxdx，1220122Exxdx所以221()18DEE⋯(3)同理可得到120334Eyydx，12220335Eyydy，223()80DEE所以协方差矩阵为10183080⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3)18(本题10分).解：保险公司一年的总收入为120000元，这时：①若一年中死亡人数>120，则公司亏本②若一年中死亡人数80，则利润40000元若一年中死亡人数60，则利润60000元若一年中死亡人数40，则利润80000元令10iii第个人在一年内死亡第个人在一年内活着，则(1)0.006iPp，记1nnii，并且410n足够大，于是有中心极限定理可得所求事件的概率为：3/4①12060(120)1(120)1()1()7.723nnnnnpnpnpPPPPnpqnpqnpq2607.72321102xedx②80(80)()(2.59)(2.59)0.995nnnnpnpnpPPPnpqnpqnpq601(60)()(0)2nnnnpnpnpPPPnpqnpqnpq40(40)()(2.59)(2.59)nnnnpnpnpPPPnpqnpqnpq10.9950.00519(本题12分).解：①.根据(34)340000111(,)34xyxyfxydxdykedxdykedxedyk知12k②.根据分布函数的定义可知，当00xy或时，(,)0Fxy当0,0xy时，(34)34340000(,)1234(1)(1)xyxuvuvxyFxyedudveduedvee所以34(1)(1)0,0(,)0xyeexyFxy其他③当0x时，(34)30()(,)123xyxPxfxydyedye当0x时，()0Px故有330()00xexPxx当0y时，(34)40()(,)124xyyPyfxydxedxe当0y时，()0Py故有440()00yeyPxy所以就有(,)()()fxyPxPy，即与是相互独立的4/4从而3|30(|)()00xexPxyPxx，4|40(|)()00yeyPyxPyy④12(34)3800(01,02)12(1)(1)xyPedxdyee()(,)0xyPfxydxdy20(本题12分)设,,,1n是一列独立同分布的随机变量，且数学期望存在：,2,1,iaEi则对任意的0，有11lim1anPniin成立。（3分）证明：因,,,1n有相同的分布，所以也有相同的特征函数，记为)(t，又因,2,1,iaEi，从而)(t有展开式：)(1)()0()0()(tiatttt（3分）再由独立性知niin11的特征函数为nnntntiant)(1对任意取定的t，有iatnnnnentntiant)(1limlim（3分）而iate是退化分布的特征函数，相应的分布函数为axaxxF,0,1)(（3分）由特征函数的连续性定理知niin11的分布函数弱收敛于F(x)，从而有anPnii11。（3分）故辛钦大数定律成立。
