课时跟踪检测（一）小题考法——平面向量A组——10＋7提速练一、选择题1．已知平面向量a＝(3,4)，b＝，若a∥b，则实数x为()A．－B．C．D．－解析：选C a∥b，∴3×＝4x，解得x＝，故选C.2．(2019届高三·杭州六校联考)已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a＝()A．9B．10C．12D．13解析：选D 向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，∴a·b＝2×5×cos120°＝－5，∴(2a－b)·a＝2a2－a·b＝2×4＋5＝13，故选D.3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝()A.AB－ACB.AB－ACC.AB＋ACD.AB＋AC解析：选A作出示意图如图所示．EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝×(AB＋AC)＋(AB－AC)＝AB－AC.故选A.4．设向量a＝(－2,1)，a＋b＝(m，－3)，c＝(3,1)，若(a＋b)⊥c，则cos〈a，b〉＝()A．－B．C．D．－解析：选D由(a＋b)⊥c可得，m×3＋(－3)×1＝0，解得m＝1.所以a＋b＝(1，－3)，故b＝(a＋b)－a＝(3，－4)．所以cos〈a，b〉＝＝＝－，故选D.5．P是△ABC所在平面上一点，满足|PB－PC|－|PB＋PC－2PA|＝0，则△ABC的形状是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析：选B P是△ABC所在平面上一点，且|PB－PC|－|PB＋PC－2PA|＝0，∴|CB|－|(PB－PA)＋(PC－PA)|＝0，即|CB|＝|AB＋AC|，∴|AB－AC|＝|AB＋AC|，两边平方并化简得AB·AC＝0，∴AB⊥AC，∴∠A＝90°，则△ABC是直角三角形．6.(2018·浙江二模)如图，设A，B是半径为2的圆O上的两个动点，点C为AO中点，则CO·CB的取值范围是()A．[－1,3]B．[1,3]C．[－3，－1]D．[－3,1]解析：选A建立平面直角坐标系如图所示，可得O(0,0)，A(－2,0)，C(－1,0)，设B(2cosθ，2sinθ)．θ∈[0,2π)．1则CO·CB＝(1,0)·(2cosθ＋1，2sinθ)＝2cosθ＋1∈[－1,3]．故选A.7．(2019届高三·浙江名校联考)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝2，AC⊥BC，D为AB的中点，点P满足AP＝AC＋AD，则PA·(PB＋PC)的最小值为()A．－2B．－C．－D．－解析：选C由AP＝AC＋AD知点P在直线CD上，以点C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0,0)，A(0,2)，B(2，0)，D(，1)，∴直线CD的方程为y＝x，设P，则PA＝，PB＝，PC＝，∴PB＋PC＝，∴PA·(PB＋PC)＝－x(2－2x)＋x2－x＝x2－x＝2－，∴当x＝时，PA·(PB＋PC)取得最小值－.8．已知单位向量a，b，c是共面向量，a·b＝，a·c＝b·c<0，记m＝|λa－b|＋|λa－c|(λ∈R)，则m2的最小值是()A．4＋B．2＋C．2＋D．4＋解析：选B由a·c＝b·c，可得c·(a－b)＝0，故c与a－b垂直，又a·c＝b·c<0，记OA＝a，OB＝b，OC＝c，以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，设OD＝λa，则|λa－b|＋|λa－c|＝|BD|＋|CD|≥|b－c|＝|BC|，由图可知最小值为BC，易知∠OBC＝∠BCO＝15°，所以∠BOC＝150°，在△BOC中，BC2＝BO2＋OC2－2BO·OC·cos∠BOC＝2＋.所以m2的最小值是2＋.9．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为()A．3B．2C.D．2解析：选A以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝.因为P在圆C上，所以P.又AB＝(1,0)，AD＝(0,2)，AP＝λAB＋μAD＝(λ，2μ)，所以λ＋μ＝2＋cosθ＋sinθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tanφ＝2)，当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.10．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，设AD·BC＝m，AC·BD＝n.若AB＝，EF＝1，CD＝，则()A．2m－n＝1B．2m－2n＝1C．m－2n＝1D．2n－2m＝1解析：选DAC·BD＝(AB＋BC)·(－AB＋AD)＝－AB2＋AB·AD－AB·BC＋AD·BC＝－AB2＋AB·(AD－BC)＋m＝－AB2＋AB·(AB＋BC＋CD－BC)＋m＝AB·CD＋m.又EF＝EA＋AB＋BF，EF＝ED＋DC＋CF，两式相加，再根据点E，F分别是边AD，BC的中点，化简得2EF＝AB＋2DC，两边同时平方得4＝2＋3＋2AB·DC，所以AB·DC＝－，则AB·CD＝，所以n＝＋m，...
