高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 1 椭圆 1.2 椭圆的简单性质课时跟踪训练 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

1.2椭圆的简单性质[A组基础巩固]1．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝()A．2B．3C．4D．9解析：利用椭圆的标准方程及性质求解．由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.答案：B2．已知k<0，则曲线＋＝1和＋＝1有相同的()A．顶点B．焦点C．离心率D．长轴长解析：c＝9－4＝5，且焦点在x轴上；c＝(9－k)－(4－k)＝5，且焦点在x轴上．答案：B3．已知椭圆＋＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是()A.＋1B.＋1C.D.解析：由题意得|PF1|＋|PF2|＝4，焦距2c＝2. |PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝3，|PF2|＝1. 12＋(2)2＝32，∴△PF1F2是直角三角形，且PF2⊥F1F2，∴△PF1F2的面积为|PF2|×|F1F2|＝×1×2＝，故选D.答案：D4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.B.C.D.解析：由题意可得|PF2|＝|F1F2|，∴2＝2c.∴3a＝4c.∴e＝.答案：C5．以F1(－1,0)、F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：设椭圆方程为＋＝1(a>1)，由，得(2a2－1)x2＋6a2x＋(10a2－a4)＝0，由Δ≥0，得a≥，∴e＝＝≤，当a＝时，e取得最大值，此时椭圆方程为＋＝1.答案：C6．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________．1解析：由题意2b>2c，即b>c，即>c，∴a2－c2>c2，则a2>2c2.∴<，∴0b>0)的一个焦点F(2,0)，点A(－2,1)为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝8，则椭圆E的离心率的取值范围是__________．解析：记椭圆的左焦点为F1(－2,0)，则|AF1|＝1. |PF1|≤|PA|＋|AF1|，∴2a＝|PF1|＋|PF|≤|PA|＋|AF1|＋|PF|＝1＋8＝9，即a≤. |PF1|≥|PA|－|AF1|，∴2a＝|PF1|＋|PF|≥|PA|－|AF1|＋|PF|＝8－1＝7，即a≥. c＝2，∴≤≤，即≤e≤，椭圆E的离心率的取值范围是.答案：9．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0)，并以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．解析：若椭圆的焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)．由题意得：解得∴椭圆方程为＋y2＝1；若椭圆的焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得解得∴椭圆方程为＋＝1.综上所述，椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，如果椭圆上存在点M，使MF1·MF2＝0，求椭圆的离心率的取值范围．解析：设点M(x，y)，使MF1·MF2＝0，由于F1(－c,0)，F2(c,0)，MF1＝(－c－x，－y)，MF2＝(c－x，－y)，∴(－c－x)(c－x)＋(－y)2＝0，∴x2＋y2＝c2.又点M(x，y)在椭圆＋＝1上，∴由，消去y，并整理得(a2－b2)x2＝a2(c2－b2)，∴x2＝≥0，即c2－b2＝2c2－a2≥0，∴≥，即e2≥，∴e∈[，1)．[B组能力提升]1．过椭圆C：＋＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则＋等于()A.B.C.D.解析：由已知得直线l：y＝(x＋1)．联立，可得A(0，)，B(－，)，又F(－1,0)，∴|AF|＝2，|BF|＝，∴＋＝.答案：A2．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个交点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若