学业分层测评(四)同角三角函数关系(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．(2016·南通高一检测)若sinθ＝－，tanθ＜0，则cosθ＝________.【解析】∵sinθ＝－＜0，tanθ＜0，∴θ为第四象限角，∴cosθ＝＝.【答案】2．化简：(1＋tan2α)·cos2α＝________.【解析】原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.【答案】13．已知sinα＝，则sin4α－cos4α＝________.【解析】∵sinα＝，∴sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.【答案】－4．已知α是第二象限角，tanα＝－，则cosα＝________.【导学号：06460011】【解析】∵tanα＝＝－，∴cosα＝－2sinα.又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1，又α为第二象限角，∴cosα＜0，∴cosα＝－.【答案】－5．(2016·扬州高一检测)化简：＝________.【解析】＝＝|sin4|，∵π<4<，∴sin4<0，∴|sin4|＝－sin4.【答案】－sin46．(2016·泰州高一检测)已知＝，则等于________．【解析】由1－sin2x＝cos2x，可得＝－＝－.【答案】－7．若sinα＋cosα＝，则tanα＋的值为________．【解析】tanα＋＝＋＝.又sinα＋cosα＝，∴sinαcosα＝，∴tanα＋＝2.【答案】28．已知0<α<π，sinα·cosα＝－，则sinα－cosα的值等于________．【解析】∵sinα·cosα<0,0<α<π，∴sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα>0，∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，∴sinα－cosα＝.1【答案】二、解答题9．已知tanx＝2，求：(1)的值；(2)sin2x＋cos2x的值．【解】(1)＝＝＝－3.(2)sin2x＋cos2x＝＝＝＝.10．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.【证明】因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，所以＋1＝2，所以＝，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1.能力提升]1．(2016·无锡高一检测)若角α的终边在直线x＋y＝0上，则＋＝________.【解析】∵＋＝＋.又角α的终边落在x＋y＝0上，故角α的终边在第二、四象限．当α在第二象限时，原式＝＋＝0，当α在第四象限时，原式＝＋＝0.【答案】02．(2016·常州高一检测)化简：＝________.【解析】原式＝＝＝＝－1.【答案】－13．若A∈(0，π)，且sinA＋cosA＝，则＝________.【解析】(sinA＋cosA)2＝，∴1＋2sinAcosA＝，∴2sinAcosA＝－<0，∵A∈(0，π)，∴sinA>0，cosA<0，∴(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝，∴sinA－cosA＝，∴sinA＝，cosA＝－，故＝.【答案】4．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的两根为sinθ和cosθ(θ∈(0，π))，求：(1)m的值．(2)＋的值.(3)方程的两根及此时θ的值．【解】(1)由根与系数的关系可知，sinθ＋cosθ＝，①sinθ·cosθ＝m.②将①式平方得1＋2sinθ·cosθ＝，所以sinθ·cosθ＝，代入②得m＝.2(2)＋＝＋＝＝sinθ＋cosθ＝.(3)因为已求得m＝，所以原方程化为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝.所以或又因为θ∈(0，π)，所以θ＝或.3
