课堂10分钟达标1.已知点(2,3)在椭圆+=1上,则下列说法正确的是()A.点(-2,3)在椭圆外B.点(3,2)在椭圆上C.点(-2,-3)在椭圆内D.点(2,-3)在椭圆上【解析】选D.根据椭圆的对称性知,点(2,-3)在椭圆上.2.过椭圆+y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A,B两点,则|AB|等于()A.4B.2C.1D.4【解析】选C.因为+y2=1中a2=4,b2=1,所以c2=3,所以右焦点坐标F(,0),将x=代入+y2=1得,y=±,故|AB|=1.3.直线y=x+1与椭圆x2+=1的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法确定【解析】选C.联立消去y,得3x2+2x-1=0,Δ=22+12=16>0,所以直线与椭圆相交.4.若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为________.【解析】因为直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,所以>2,所以m2+n2<4.即点P(m,n)在以原点为圆心,以2为半径的圆内,故直线mx+ny=4与椭圆+=1有两个交点.答案:25.椭圆+=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是________.【解析】设椭圆的另一个焦点为F2,由题意知F2P垂直于x轴,不妨设P(3,y0),则有+=1,所以y0=±,点M的纵坐标为±.1答案:±6.求过点(3,0)且斜率为的直线被椭圆+=1所截得的线段的长度.【解析】过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3).设直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程代入椭圆方程得+=1,即x2-3x-8=0.所以x1+x2=3,x1x2=-8.所以|AB|=·==.【补偿训练】已知椭圆E长轴的端点为A(-3,0),B(3,0),且椭圆上的点到焦点的最小距离是1.(1)求椭圆E的标准方程.(2)O为原点,P是椭圆E上异于A,B的任意一点,直线AP,BP分别交y轴于M,N,问·是否为定值,说明理由.【解析】(1)根据条件可知椭圆的焦点在x轴,且a=3,又a-c=1⇒c=2,所以b2=a2-c2=5.故椭圆E的标准方程为+=1.(2)设P(x0,y0),则5+9=45,且A(-3,0),B(3,0),又直线PA:y=(x+3),直线PB:y=(x-3),令x=0,得:=,=.故·===5为定值.23
