1.3.2利用导数研究函数的极值(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列结论中，正确的是()A．导数为零的点一定是极值点B．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值C．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值D．如果在x0点附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值【解析】根据极值的概念，左侧f′(x)>0，单调递增；右侧f′(x)<0，单调递减，f(x0)为极大值．【答案】B2．设函数f(x)＝＋lnx，则()A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点【解析】f′(x)＝－，令f′(x)＝0，即－＝0，得x＝2，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.【答案】D3．已知函数f(x)＝x2－2(－1)klnx(k∈N＋)存在极值，则k的取值集合是()A．{2,4,6,8，…}B．{0,2,4,6,8，…}C．{1,3,5,7，…}D．N＋【解析】 f′(x)＝2x－且x∈(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x2＝(－1)k，(*)要使f(x)存在极值，则方程(*)在(0，＋∞)上有解．∴(－1)k>0，又k∈N＋，∴k＝2,4,6,8，…，所以k的取值集合是{2,4,6,8，…}．【答案】A4．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥B．m>C．m≤D．m<【解析】令f′(x)＝2x3－6x2＝0，得x＝0或x＝3.经检验，知x＝3是函数的最小值点，所以函数f(x)的最小值为f(3)＝3m－.因为不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥，故选A.【答案】A5．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为()【导学号：05410023】1A．0B.C.D.【解析】f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在区间[2,4]上单调递减，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.【答案】C二、填空题6．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝__________处取得极小值．【解析】由f(x)＝x3－3x2＋1，得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．令f′(x)＝0，解得x＝0，x＝2，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．故当x＝2时，函数f(x)取得极小值．【答案】27．设方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则实数k的取值范围是________．【解析】设f(x)＝x3－3x－k，则f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＝0，得x＝±1，且f(1)＝－2－k，f(－1)＝2－k，又f(x)的图象与x轴有3个交点，故∴－2
0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是__________．【解析】由f(x)＝＋2lnx，得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0时，f′(x)>0.故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝lna＋1.要使f(x)≥2恒成立，需lna＋1≥2恒成立，则a≥e.【答案】[e，＋∞)三、解答题9．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.(1)求实数a，b的值；(2)求函数y的极小值．【解】(1)y′＝3ax2＋2bx.由题意，知即解得(2)由(1)知y＝－6x3＋9x2.所以y′＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．令y′＝0，解得x1＝1，x2＝0.所以当x<0时，y′<0；当00；当x>1时，y′<0.所以当x＝0时，y有极小值，其极小值为0.10．(2015·太原高二检测)已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．2【解】因为f(x)＝，x>0，则f′(x)＝－，当00，当x>1时，f′(x)<0.所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)在x＝1处取得极大值．因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在极值，所以解得0，当x∈时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，∴当x＝时，函数有极大值，f＝3－2×2＋＝，当x＝1...
